[論文レビュー] Twisted stable maps to tame Artin stacks

Dan Abramovich, Martin Olsson+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 19, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 9被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、tame Artinスタックへのねじれた安定写像のモジュライ空間を構成し、Kontsevichの安定写像の理論をスタックへの一般化する。ねじれた曲線とHomスタックを用いて、ねじれた安定写像のスタックが、安定写像の粗いモジュライ空間の上に固有かつ準有限であることを証明し、標的に射影的である場合には、その粗いモジュライ空間も射影的であることを示す。

ABSTRACT

This paper is a continuation of our earlier development of a theory of tame Artin stacks. Our main goal here is the construction of an appropriate analogue of Kontsevich's space of stable maps in the case where the target is a tame Artin stack. When the target is a tame Deligne--Mumford stack, the theory was developed by Abramovich and Vistoli, and found a number of applications. The theory for arbitrary tame Artin stacks developed here is very similar, but it is necessary to overcome a number of technical hurdles and to generalize a few questions of foundation.

研究の動機と目的

• Kontsevichの安定写像の理論を、Deligne–Mumfordスタックに限定されないtame Artinスタックの設定に拡張すること。
• 任意の特徴標数で成り立つねじれた曲線の概念を用いて、ねじれた安定写像を定義・研究すること。この場合、Deligne–Mumfordであるとは限らない。
• ねじれた安定写像のモジュライスタックの基本的性質を確立すること。特に、安定写像の粗いモジュライ空間上での固有性と準有限性を含む。
• 有限平坦線形再帰的代数群スキーム $G$ に対する分類スタック $\mathcal{B}G$ の場合を分析し、$\mathcal{M}_{g,n}$ 上での有限性と平坦性を示すこと。
• この理論を用いて、楕円曲線の全レベル-2構造を持つモジュライ空間 $X(2)$ を、2通りの異なるスタック的構成によりコンパクト化すること。

提案手法

• tameスタックの理論を用いてねじれた曲線を定義し、特徴標数が任意の状況でも成り立つように、Deligne–Mumfordねじれた曲線を一般化する。
• 付録Aで確立されたねじれた曲線のスタックの存在と、[35, 40]で示された$\underline{\text{Hom}}$-スタックの有限性の性質（付録Cで拡張）を用いる。
• $n$-点付与の genus $g$ ねじれた曲線からtameスタック $\mathcal{M}$ へのねじれた安定写像を分類するスタック $\mathcal{K}_{g,n}(\mathcal{M})$ を構成する。
• 一般化された純粋性補題（補題4.6）を用いて、[5]で使われた主要な技術的道具を拡張し、固有性を証明する。
• 写像 $\mathcal{K}_{g,n}(\mathcal{M}) \to \mathcal{K}_{g,n}(M)$ の相対的幾何を分析することで、準有限性を確立する。ここで $M$ は $\mathcal{M}$ の粗いモジュライ空間である。
• $\mathcal{B}G$-標的に対して理論を適用し、$\mathcal{M}_{g,n}(\mathcal{B}G)$ が $\mathcal{M}_{g,n}$ 上で有限かつ平坦であることを示す。その際、$\underline{\text{Pic}}_{X/B}^\mathcal{G}[n]$ 上の降下と torsor 構造を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Kontsevichの安定写像のモジュライ空間は、Deligne–Mumfordスタックに限定されないtame Artinスタックへ一般化可能か？
• RQ2 正の特徴標数におけるねじれた曲線の挙動はいかにか？また、変形に関して安定か？
• RQ3 ねじれた安定写像のスタックは、安定写像の粗いモジュライ空間上であっても固有かつ準有限か？
• RQ4 有限平坦線形再帰的 $G$ に対して $\mathcal{M}_{g,n}(\mathcal{B}G)$ の構造は何か？また、$\mathcal{M}_{g,n}$ とどのように関係するか？
• RQ5 楕円曲線の全レベル-2構造を持つモジュライ空間 $X(2)$ は、複数の幾何的に意味のある方法でねじれた安定写像によるコンパクト化が可能か？

主な発見

• tame Artinスタック $\mathcal{M}$ へのねじれた安定写像のスタック $\mathcal{K}_{g,n}(\mathcal{M})$ は、底スキーム $S$ 上で局所的に有限型の代数的スタックである。
• 自然な準同型 $\mathcal{K}_{g,n}(\mathcal{M}) \to \mathcal{K}_{g,n}(M)$ は、$M$ が $\mathcal{M}$ の粗いモジュライ空間であるとき、固有かつ準有限である。
• $M$ が体上射影的であるとき、固定された標的類 $\beta$ を持つ写像の部分スタック $\mathcal{K}_{g,n}(\mathcal{M},\beta)$ は、$\mathcal{K}_{g,n}(\mathcal{M})$ 内で固有かつ開かつ閉である。
• $\mathcal{M} = \mathcal{B}G$ で $G$ が有限平坦線形再帰的であるとき、スタック $\mathcal{M}_{g,n}(\mathcal{B}G)$ は、Deligne–Mumfordスタック $\mathcal{M}_{g,n}$ 上で有限かつ平坦である。
• 楕円曲線の全レベル-2構造のモジュライ空間 $X(2)$ は、$\mathcal{K}_{0,4}(\mathcal{B}\boldsymbol{\mu}_2)$ および $\mathcal{K}_{1,1}(\mathcal{B}\boldsymbol{\mu}_2^2)$ の成分として現れ、幾何的に意味のあるコンパクト化を持つ。
• Katz–Mazurの正則モデルは、そのコンパクト化の一つの一般化されたファイバーにおける成分の閉包として実現される。