[論文レビュー] Twisting of quantum (super)algebras. Connection of Drinfeld's and Cartan-Weyl realizations for quantum affine algebras

S. Khoroshkin, В.Н. Толстой|ArXiv.org|Apr 7, 1994

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 16被引用数 60

ひとこと要約

本稿は、普遍R行列の因子による twisting によって、ドリンフェルトの第二実現と量子アフィン代数のカルタン＝ヴェイユ基底との間の接続を確立する。ドリンフェルトのコムルティプリケーション公式が、標準的コムルティプリケーションを普遍R行列の因子で twisting することによって生じることを示している。同一のカルタン行列をもつが異なる量子（超）代数は、q-変形として同型であることを証明し、第二ドリンフェルト実現におけるコムルティプリケーションが、適切なテンソル積代数の完成において普遍R行列の因子による twisting であることを示している。

ABSTRACT

We show that some factors of the universal R-matrix generate a family of twistings for the standard Hopf structure of any quantized contragredient Lie (super)algebra of finite growth. As an application we prove that any two isomorphic superalgebras with different Cartan matrices have isomorphic q-deformations (as associative superalgebras) and their standard comultiplications are connected by such twisting. We present also an explicit relation between the generators of the second Drinfeld's realization and Cartan-Weyl generators of quantized affine nontwisted Kac-Moody algebras. Further development of the theory of quantum Cartan-Weyl basis, closely related with this isomorphism, is discussed. We show that Drinfeld's formulas of a comultiplication for the second realization are a twisting of the standard comultiplication by factors of the universal R-matrix. Finally, properties of the Drinfeld's comultiplication are considered.

研究の動機と目的

• ドリンフェルトの第二実現と、非-twistされたアフィンカック＝ムーディ代数のカルタン＝ヴェイユ基底との間の明確な代数的関係を確立すること。
• ドリンフェルトの第二実現におけるコムルティプリケーションが、普遍R行列の因子による標準的コムルティプリケーションの twisting から生じることを示すこと。
• 同一のカルタン行列をもつが異なるカルタン行列をもつ量子（超）代数は、結合的超代数として同型なq-変形をもつことを証明すること。
• 普遍R行列およびその因子が、量子対対称的リーレイ（超）代数のホップ代数的構造の twisting を生成する役割を明らかにすること。
• すべての根へ一般化された通常順序付けを可能にする「円形」生成子を導入することで、量子カルタン＝ヴェイユ基底の理論を拡張すること。

提案手法

• 有限成長をもつ量子対対称的リーレイ（超）代数の標準的ホップ構造に対する、普遍R行列の因子が生成する twisting の族の使用。
• すべての根へ通常順序付けを拡張する「円形」カルタン＝ヴェイユ生成子を用いた、ドリンフェルトの第二実現とカルタン＝ヴェイユ基底との間の同型写像の明示的構成。
• 普遍R行列の因子による twisting を用いて、標準的コムルティプリケーションとドリンフェルトの第二実現におけるコムルティプリケーション公式とを関連付ける。
• 特に、$\hat{t}_{2\delta} = \hat{s}_\alpha \hat{s}_{\delta - \alpha}$ として与えられるアフィンワイル群作用、特に移動作用素を用いて、twisted コムルティプリケーションの極限を分析する。
• Fock-Schur (FS) 位相における twisted コムルティプリケーションの漸近的挙動を分析し、Drinfeld のコムルティプリケーションを極限として抽出する。
• Lusztig の自己同型とそれらが普遍R行列の twisting とどのように関係するかを用いて、量子アフィン代数の異なる実現を結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ドリンフェルトの第二実現と、量子アフィン代数のカルタン＝ヴェイユ基底との間の代数的関係は何か？
• RQ2 ドリンフェルトのコムルティプリケーション公式は、普遍R行列を介した標準的コムルティプリケーションの twisting として導出可能か？
• RQ3 普遍R行列は、量子（超）代数の余代数的構造の twisting を生成するにあたり、果たす役割は何か？
• RQ4 同一の量子（超）代数でありながら異なるカルタン行列をもつものどうしが、q-変形においてどのように関係するか？
• RQ5 「円形」カルタン＝ヴェイユ生成子の意義は、根系のすべての根へ通常順序付けを一般化するにあたり、何であるか？

主な発見

• ドリンフェルトの第二実現におけるコムルティプリケーション公式が、普遍R行列の因子による標準的コムルティプリケーションの twisting であることが示された。
• n \to \infty における twisted コムルティプリケーションの極限は、Drinfeld のコムルティプリケーション $\Delta^{(D)}(e_\delta) = e_\delta \otimes 1 + k_\delta^{-1} \otimes e_\delta$ を与え、FS 位相において高次の項は消える。
• 実根ベクトル $e_\alpha$ に対して、twisted コムルティプリケーションの極限は、$e_\alpha \otimes 1$ および $e_{-m\delta} \otimes e_{m\delta + \alpha}$（$m \geq 0$）の項をもつ。係数は $U_q(\kappa \otimes \kappa)$ の分数体に属する。
• 異なるカルタン行列をもつ同型な超代数の量子変形の間の同型写像は、普遍R行列の twisting までで、標準的コムルティプリケーションと可換である。
• 「円形」カルタン＝ヴェイユ生成子の使用により、通常順序付けがすべての根へ自然に拡張され、Hall 代数やクーヴ表現の導来圏における構成と類似している。
• Drinfeld のコムルティプリケーションの準共通的性質が、普遍R行列の存在と同値であることが示され、スペクトルパラメータに一般化された関数をもつヤン＝バクスター方程式の解を生成することがわかった。