[論文レビュー] Twisting the Stern sequence

Roland Bacher|arXiv (Cornell University)|May 31, 2010

semigroups and automata theory参考文献 10被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、符号付き再帰的関係で定義される古典的Stern数列の変種であるねじれStern数列を導入し、その分析を行う。関数的恒等式、回文的多項式の因数分解、および母関数を通じて、元の数列とねじれ数列との間に深い関係を確立し、構造的対称性を明らかにするとともに、行列式と関数方程式を用いて関連する母関数の$k$-正則性を証明する。

ABSTRACT

We describe a few features of the Stern sequence and of a closely related sequence obtained by adding a sign-twist in the recursive definition of the Stern sequence. 1 Main results In this paper, we identify a complex sequence (an)n∈N with the corresponding function a : N 7−→ C. We write thus always a(n) instead of an. The Stern sequence or Stern-Brocot sequence with first terms given by 0, 1, 1, 2, 1, 3, 2, 3, 1, 4, 3, 5, 2, 5, 3, 4, 1, 5, 4, 7, 3, 8, 5, 7, 2, 7, 5, 8, 3, . . . (cf. sequence A2487 of [9]) is the integral sequence s : N −→ N recursively defined by s(0) = 0, s(1) = 1 and s(2n) = s(n), s(2n + 1) = s(n) + s(n + 1) for n ≥ 1. It is closely related to the Farey tree and induces a one-to-one map n 7−→ s(n)/s(n+ 1) between N and non-negative rational numbers, cf. [5] or Chapter 16 of [1]. It is also an example of a 2−regular sequence, see Chapter 16 of [2]. The following result gives a different, perhaps not very well-known, description of the Stern sequence. Proposition 1.1 s(n) equals the number of distinct subsequences of the form 1, 101, 10101, . . . = {1(01)} in the binary expansion ǫl . . . ǫ1ǫ0 of n = ∑l k=0 ǫl2 k (where ǫ0, . . . , ǫl ∈ {0, 1}). Proposition 1.1 is in fact a particular case of Proposition 2.3, an easy result concerning rational series in non-commuting variables. Example The binary expansion 1011 of 11 = 23 + 21 + 20 contains the following five subsequences (highlighted by bold letters) 1011 , 1011 , 1011,1011 ,1011

研究の動機と目的

• 古典的Stern数列の再帰的定義に符号の変更を加えることで得られる新しい数列、ねじれStern数列を定義し、その性質を調査すること。
• Stern数列とそのねじれ版との間の構造的類似性および関数的恒等式を調査すること。
• ねじれ数列から導かれる回文的多項式の因数分解を確立し、自己相似的パターンを明らかにすること。
• 関数方程式を用いて、ねじれ数列の母関数の対数微分の$k$-正則性を証明すること。
• ねじれStern数列の母関数の零点の複素単位円内での分布を調査すること。

提案手法

• 初期値 $ t(0) = 0 $, $ t(1) = 1 $ を用いて、再帰的関係 $ t(2n) = -t(n) $, $ t(2n+1) = -t(n) - t(n+1) $ によりねじれStern数列を定義する。
• 母関数と関数方程式を用いて、ねじれ数列の構造を分析し、特に恒等式 $ \sum t(3\cdot 2^e + n)z^n = (-1)^e \left( \sum u(n)z^{n\cdot 2^e} \right) \left( \sum s(m)z^m \right) $ を用いる。
• 多項式 $ \psi_e = (-1)^e \sum_{n=0}^{3\cdot 2^e} t(3\cdot 2^e + n) z^n $ が $ z(1+z^{2^e}) \prod_{n=0}^{e-1} (1+z^{2^n}+z^{2^{n+1}}) $ に因数分解されることを証明し、自己相似的構造を明らかにする。
• 連続するStern数列およびねじれ数列の項からなる行列の行列式を分析し、偶数 $ n $ に対して $ \det(M(n)) = -\det(M(n/2)) $ が成り立ち、混合数列に対しても同様の恒等式が成り立つことを示す。
• 関数方程式を用いて、母関数 $ A(z) $ の対数微分が $ B(z) = \frac{P'(z)}{P(z)} + kz^{k-1}B(z^k) $ を満たすことを示し、$ P(z) $ が円分的類似項の積であることを用いて、$ A(z) $ の対数微分の$k$-正則性を確立する。
• 数学的帰納法と再帰的代入を用いて、$ s(n-1) + s(n+1) $ と $ t(n-1) + t(n+1) $ を含む恒等式を証明し、2進付値 $ v_2(n) $ と関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Stern数列とそのねじれ版との間の関数的恒等式は、それらの再帰的構造に内在する対称性をどのように反映しているか？
• RQ2 ねじれ数列から導かれる回文的多項式の代数的構造は何か？ また、それらはどのように因数分解されるか？
• RQ3 ねじれStern数列の母関数は開単位円内に無限個の零点をもつか？ これは古典的Stern数列とはどのように対照的か？
• RQ4 ねじれ数列の母関数の対数微分が $k$-正則となる条件は何か？ これは数列の算術的構造にどのような含意を持つのか？
• RQ5 Stern数列およびねじれ数列の連続する項からなる行列の行列式は、2の累乗でスケーリングされたときにどのように振る舞うか？

主な発見

• ねじれStern数列は、$ 0 \leq n \leq 2^e $ に対して恒等式 $ t(2^e + n) = (-1)^e (s(2^e - n) - s(n)) $ を満たし、これにより古典的Stern数列と直接的に関連づけられる。
• 区間 $ 0 \leq n \leq 3\cdot 2^e $ における有限列 $ (-1)^e t(3\cdot 2^e + n) $ は回文的であり、$ z(1+z^{2^e}) \prod_{n=0}^{e-1} (1+z^{2^n}+z^{2^{n+1}}) $ に因数分解され、自己相似的構造が明らかになる。
• 古典的Stern数列の母関数は $ \sum s(n)z^n = z \prod_{n=0}^\infty (1+z^{2^n}+z^{2^{n+1}}) $ を満たすが、これはねじれ数列の多項式因数分解を用いて再び証明された。
• ねじれStern数列の母関数は、古典的Stern数列とは異なり、開単位円内に無限個の非ゼロの根をもつ。
• ねじれ数列の母関数の対数微分が $k$-正則であるための必要十分条件は、その関数方程式に現れる多項式 $ P(z) $ がすべての根を単位根として持つことである。
• 行列 $ M(n) = \begin{pmatrix} s(n) & s(n+1) \\ t(n) & t(n+1) \end{pmatrix} $ の行列式は、$ \det(M(2n)) = -\det(M(n)) $ および $ \det(M(2n-1)) = -\det(M(n-1)) $ を満たし、再帰的な符号パターンが示される。