[論文レビュー] Twistor and Reflector Spaces of Almost Para-Quaternionic Manifolds

Stefan Ivanov, Ivan Minchev+1 more|ArXiv.org|Nov 27, 2005

Geometric Analysis and Curvature Flows被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、ほぼ双クaternion的多様体のtwistor空間およびreflector空間に対して自然に定義されたほぼ複素構造およびほぼ双複素構造の可積分性を調査する。可積分性が双クォータニオン接続の選び方に依存しないこと、および次元が8以上の場合には双クォータニオン的、次元が4の場合には自己双対でない（anti-self-dual）ことと同値であることを証明する。

ABSTRACT

We investigate the integrability of natural almost complex structures on the twistor space of an almost para-quaternionic manifold as well as the integrability of natural almost paracomplex structures on the reflector space of an almost para-quaternionic manifold constructed with the help of a para-quaternionic connection. We show that if there is an integrable structure it is independent on the para-quaternionic connection. In dimension four, we express the anti-self-duality condition in terms of the Riemannian Ricci forms with respect to the associated para-quaternionic structure.

研究の動機と目的

• ほぼ双クォータニオン的多様体のtwistor空間上の自然なほぼ複素構造が可積分となる条件を特定すること。
• このような多様体のreflector空間上の自然なほぼ双複素構造の可積分性を調査すること。
• 可積分構造の存在が双クォータニオン接続の選び方に依存するかどうかを特定すること。
• リーマンのリッチ形式と双クォータニオン構造を用いて4次元における自己双対性条件を特徴付けること。

提案手法

• ほぼ双クォータニオン的多様体 $(M, \tilde{\rho})$ に付随するtwistor空間 $Z^{-}$ およびreflector空間 $Z^{+}$ を構成する。
• 双クォータニオン接続 $\nabla$ を用いて、$Z^{-}$ 上の自然なほぼ複素構造 $I^{\nabla}_{1}$ および $Z^{+}$ 上のほぼ双複素構造 $P^{\nabla}_{1}$ を定義する。
• 可積分性を分析するために、ニエンイズテンソル条件 $N_{J}(X,Y) \in \text{span}\{J_{1}X, J_{1}Y, J_{2}X, J_{2}Y, J_{3}X, J_{3}Y\}$ を用いる。
• Zamkovoy [36] で知られている結果を応用し、接続の $(0,2)_{J}$-部分の torsion が消えることと構造の可積分性との関係を確立する。
• 曲率と torsion の分析を通じて、$I^{\nabla}_{1}$ および $P^{\nabla}_{1}$ の可積分性が双クォータニオン的または自己双対的条件と同値であることを示す。
• PQKT（双クォータニオン的ケーラー的かつ torsion を持つ）フレームワークを用いて、$Z^{-}$ および $Z^{+}$ 上の可積分構造が torsion-free 接続によって誘導されるものと一致することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 twistor空間 $Z^{-}$ 上のほぼ複素構造 $I^{\nabla}_{1}$ が可積分となる条件は何か？
• RQ2 reflector空間 $Z^{+}$ 上のほぼ双複素構造 $P^{\nabla}_{1}$ が可積分となる条件は何か？
• RQ3 $I^{\nabla}_{1}$ や $P^{\nabla}_{1}$ の可積分性は、双クォータニオン接続 $\nabla$ の選び方に依存するか？
• RQ4 4次元における自己双対性条件は、リーマンのリッチ形式および双クォータニオン構造とどのように関係するか？
• RQ5 $Z^{-}$ および $Z^{+}$ 上の構造の可積分性と多様体の基本的な幾何構造との関係は何か？

主な発見

• twistor空間 $Z^{-}$ 上のほぼ複素構造 $I^{\nabla}_{1}$ は、双クォータニオン接続 $\nabla$ の $(0,2)_{J}$-部分の torsion がすべての $J \in \mathcal{P}$ に対して消えるときに限り可積分である。
• reflector空間 $Z^{+}$ 上のほぼ双複素構造 $P^{\nabla}_{1}$ は、同じ torsion 条件のもとで可積分である。
• もし $I^{\nabla}_{1}$ や $P^{\nabla}_{1}$ が可積分であれば、$\dim M \geq 8$ のときには多様体 $(M, \mathcal{P})$ は双クォータニオン的であり、$\dim M = 4$ のときは自己双対である。
• 可積分構造 $Z^{-}$ や $Z^{+}$ 上の構造は、双クォータニオン接続 $\nabla$ の選び方に依存せず、唯一その背後にある双クォータニオン構造に依存する。
• PQKT（双クォータニオン的ケーラー的かつ torsion を持つ）多様体では、構造 $I^{\nabla^{T}}_{1}$ および $P^{\nabla^{T}}_{1}$ は可積分であり、任意の torsion-free 双クォータニオン接続によって誘導されるものと一致する。
• 4次元において、自己双対性条件は、$(0,2)_{J}$-部分の torsion が消えることによって特徴付けられ、双クォータニオン構造に関連するリーマンのリッチ形式を用いて表現できる。