[論文レビュー] Twistor quotients of hyperkaehler manifolds

Roger Bielawski|ArXiv.org|Jun 20, 2000

Advanced Algebra and Geometry参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、CP¹ 上の実構造を備えた複素リー群のバンドルであるtwistor群を導入し、それらを用いてハイパーカーラー商の構成を一般化する。ハイパーカーラー多様体の各複素構造に対して複素シンプレクティック構造を保存する群作用を許容することで、既知の構成（半単純群の共軛軌道や一般化されたレジェンドル変換など）を統一し、twistor空間の纤维ごとの複素シンプレクティック商として新しいハイパーカーラー多様体を構成する枠組みを提供する。

ABSTRACT

We generalize the hyperkaehler quotient construction to the situation where there is no group action preserving the hyperkaehler structure but for each complex structure there is an action of a complex group preserving the corresponding complex symplectic structure. Many (known and new) hyperkaehler manifolds arise as quotients in this setting. For example, all hyperkaehler structures on semisimple coadjoint orbits of a complex semisimple Lie group $G$ arise as such quotients of $T^*G$. The generalized Legendre transform construction of Lindstroem and Rocek is also explained in this framework.

研究の動機と目的

• ハイパーカーラー構造全体を保存する群作用が存在しない場合のハイパーカーラー商構成の一般化を図ること。
• 各複素構造が適切な群作用を許容する場合、twistor空間の複素シンプレクティック商がどのようにハイパーカーラー多様体を生じるかを説明すること。
• 一般化されたレジェンドル変換（GLT）構成を、アーベルtwistor群によるtwistor商として解釈すること。
• twistor群作用を用いて、ALE空間やモノポールのモジュライ空間を含む新しいハイパーカーラー多様体を構成する枠組みを提供すること。

提案手法

• twistor群を、CP¹ 上に実構造を備えた滑らかな複素空間の圏における群的対象として定義する。
• ハイパーカーラー多様体 M のtwistor空間 Z における纤维ごとの正則群作用を用いて、twistor商を定義する。
• アーベルtwistor群に対して、μ: Z → Lie(G) ⊗ O(2) というミラーマップを構成し、これは商 Z/G に引き下がる。
• 商多様体上のハイパーカーラー計量が、その商空間の変形におけるケーラー位相から再構成可能であることを示す。
• 既知の事例への適用：T*G を用いた複素半単純群の共軛軌道、O(2k) への射影を用いた一般化されたレジェンドル変換。
• E-H形式およびキリングスピン系方程式を用いて、得られるベクトル場をキリングベクトル場の高ランク版として解釈する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ハイパーカーラー構造全体を保存する群作用が存在しない場合、ハイパーカーラー商構成はどのように一般化可能か？
• RQ2 一般化されたレジェンドル変換は、twistor空間の纤维ごとの複素シンプレクティック商として理解できるか？
• RQ3 CP¹ 上の複素群バンドルがハイパーカーラー多様体のtwistor空間に作用する幾何的役割は何か？
• RQ4 twistor商は、共軛軌道やALE空間といった既知のハイパーカーラー多様体とどのように関係するか？
• RQ5 twistor商上の計量は、その変形におけるケーラー位相から再構成可能か？

主な発見

• 複素半単純リー群 G の半単純共軛軌道に生じるすべてのハイパーカーラー構造は、twistor群構成を用いて T*G の twistor商として得られる。
• 一般化されたレジェンドル変換構成は、アーベルtwistor群によるtwistor商に等しく、O(2k) への射影がミラーマップとして機能する。
• 電荷 k の SU(2)-モノポールのモジュライ空間は、T*Gl(k,C) の twistor商として得られるハイパーカーラー計量を持つ。
• ALE空間は、Kronheimerのハイパーカーラー計量を備えた共軛軌道の twistor商として構成可能である。
• twistor商 M//G 上のケーラー位相は、ミラーマップのレベル集合上で位相を評価することにより与えられ、具体的には K̄(u_{k+1},…,z_{n}) = K(u_{k+1},…,z_{n},v₀) と表される。
• 任意の twistor商は、正規部分群の鎖を介して、逐次的アーベルtwistor商および標準的ハイパーカーラー商に還元可能である。