[論文レビュー] Twistorial Topological Strings and a tt* Geometry for N=2 Theories in 4d

Sergio Cecotti, Andrew Neitzke+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 15, 2014

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ひとこと要約

本稿は、4次元 $\mathcal{N}=2$ 超対称理論のNekrasov-Shatashvili $\frac{1}{2}\Omega$ バックグラウンドにおける $tt^*$ 幾何を介して、精製されたトポロジカル弦理論の一般化としてのツイスター的トポロジカル弦を導入する。この構成は、ハイパーカレル幾何を量子化し、ある極限では精製されたトポロジカル弦に還元され、別の極限では量子可積分系を記述する。AGT対応の下で、Toda理論のツイスター的拡張を提供する。

ABSTRACT

We define twistorial topological strings by considering tt* geometry of the 4d N=2 supersymmetric theories on the Nekrasov-Shatashvili half-Omega background, which leads to quantization of the associated hyperKahler geometries. We show that in one limit it reduces to the refined topological string amplitude. In another limit it is a solution to a quantum Riemann-Hilbert problem involving quantum Kontsevich-Soibelman operators. In a further limit it encodes the hyperKahler integrable systems studied by GMN. In the context of AGT conjecture, this perspective leads to a twistorial extension of Toda. The 2d index of the half-Omega theory leads to the recently introduced index for N=2 theories in 4d. The twistorial topological string can alternatively be viewed, using the work of Nekrasov-Witten, as studying the vacuum geometry of 4d N=2 supersymmetric theories on T^2x I where I is an interval with specific boundary conditions at the two ends.

研究の動機と目的

• 4次元 $\mathcal{N}=2$ 理論の $\frac{1}{2}\mathcal{N}\Omega$ バックグラウンドにおける $tt^*$ 幾何を用いて、トポロジカル弦のツイスター的拡張を定義すること。
• ツイスター的トポロジカル弦と、量子コンツェビッチ＝ソイベルマン作用素を含む量子リーマン＝ヒルベルト問題との明確な関係を確立すること。
• θ-極限において、Gaiotto-Moore-Neitzkeが研究したハイパーカレル幾何の量子版が得られることを示すこと。
• AGT対応を拡張し、Toda系のツイスター的一般化を提案すること。

提案手法

• 構成は、$T^2 \times I$ に compactified された4次元 $\mathcal{N}=2$ 理論の $tt^*$ 幾何を用いる。ここで $I$ はDブレーン境界条件を伴う区間である。
• Dブレーンの波動関数は、compactification によって得られる3次元理論において、$L \to \infty$ の極限でツイスター的トポロジカル弦振幅を記述する。
• ツイスターパラメータ $\zeta$ は、Dブレーン上で保存されるスーパーチャージの選択を示す位相として導入され、$0$ および $\infty$ を除く複素平面に拡張される。
• $R \to 0$ の極限で $\zeta \to 0$ かつ $\zeta/R = \epsilon_2$ が有限であるとき、振幅は、Coulomb分岐パラメータ $\vec{a} = \vec{k}\epsilon_1$ で量子化された精製トポロジカル弦振幅に還元される。
• 理論はNekrasov-Witten対応により、指定された境界条件を伴う $T^2 \times I$ 上の4次元 $\mathcal{N}=2$ 理論の真空幾何として解釈される。
• 明示的な振幅は、$A_r$ クイバー行列モデルのセルバージュ型積分における標準的なガンマ関数の代わりにツイスター的ガンマ関数を用いることで計算される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 4次元 $\mathcal{N}=2$ 理論の $\mathcal{N}=2$ $\frac{1}{2}\Omega$ バックグラウンドにおける $tt^*$ 幾何を用いて、トポロジカル弦のツイスター的拡張を定義する方法は何か？
• RQ2 適切な極限において、ツイスター的トポロジカル弦と精製トポロジカル弦の関係は何か？
• RQ3 ツイスター的構成は、特にθ-極限において、どのように量子可積分系を記述するのか？
• RQ4 AGT対応はツイスター構造を含むように拡張可能か？その場合、Toda理論とどのように関係するか？
• RQ5 ツイスターパラメータ $\zeta$ は $tt^*$ 幾何において果たす役割は何か？そして、それがどのように量子リーマン＝ヒルベルト問題を導くのか？

主な発見

• ツイスター的トポロジカル弦振幅は、$T^2 \times I$ に compactified された4次元 $\mathcal{N}=2$ 理論の $tt^*$ 幾何におけるDブレーン波動関数として定義され、$\zeta$ がツイスターパラメータとして機能する。
• $R \to 0$ の極限で $\zeta \to 0$ かつ $\zeta/R = \epsilon_2$ が有限であるとき、振幅は、Coulomb分岐パラメータ $\vec{a} = \vec{k}\epsilon_1$ で量子化された精製トポロジカル弦振幅に還元される。
• θ-極限（$\theta$ が有限）において、構成は線型オペレーターのための量子リーマン＝ヒルベルト問題を生じさせ、ツイスター的分配関数が波動関数として機能する。
• $A_r$ クイバー行列モデルにおいて、ツイスター的振幅は、結合定数に関連する角度 $\psi_\ell, \phi_\ell, \theta$ を含むツイスター的ガンマ関数に標準的なガンマ関数を置き換えることで得られる。
• 得られるツイスター的Toda振幅は、't Hooftパラメータに関連する引数を持つツイスター的二重ガンマ関数の積として表現される。
• この構成により、AGT対応を介してTodaの正則ブロックの明示的ツイスター的拡張が得られ、セルバージュ積分のパラメータとTodaの量との間の辞書を用いる。