[論文レビュー] Twists of Drinfeld-Stuhler modular varieties

Michael Spieß|ArXiv.org|Jan 20, 2007

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 9被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、グローバル関数体上の中心的単純代数に対応するドリンフェルト＝シュトラスラーのモジュラー多様体が、互いにねじれ（twist）の関係にあり、シュイマ曲線に関するチェレドニク＝ドリンフェルトの定理を正標数に一般化することを確立する。代数的ベクトル束の双加法的構成（bimodule twist）を用いて、${\cal A}$-楕円層のモジュライ空間の間の明示的同型を構成し、適切な拡大への基底拡張によってこれら多様体が幾何学的に同型であることを示し、それによってそのモジュライ的記述を統一する。

ABSTRACT

Let $\cal A$ be a maximal (or more generally a hereditary) order in a central simple algebra over a global field $F$ of positive characteristic. We study the reduction of the modular scheme of $\cal A$-elliptic sheaves at all places of $F$. We show that some of these varieties - for different $\cal A$ - are twists of each other. This result can be viewed as a global analogue of the Cherednik-Drinfeld theorem for these varieties.

研究の動機と目的

• グローバル関数体上の中心的単純代数に対応するドリンフェルト＝シュトラスラーのモジュラー多様体を用いて、シュイマ曲線に関するチェレドニク＝ドリンフェルトの定理を正標数に一般化すること。
• グローバル関数体上での異なる中心的単純代数 $A$ に対する ${\cal A}$-楕円層のモジュライ空間の幾何学的関係を理解すること。
• これらのモジュライ空間が明示的な双加法的構成を用いて互いにねじれの関係にあることを確立すること。
• 滑らかでない点や分岐・非分解的点を含め、ドリンフェルト＝シュトラスラー多様体のモジュライ的記述を滑らかな部分にとどまらず拡張すること。
• 整礎順序（hereditary orders）とフロベニウス構造を用いて、${\cal A}$-楕円層のモジュライの均一な枠組みを提供すること。

提案手法

• グローバル関数体 $F$ 上の中心的単純代数 $A$ における整礎順序 ${\cal A}$ を用いて、固定された点 $\infty$ における極を持つ ${\cal A}$-楕円層を定義する。
• ${\cal A}$-楕円層のレベル-$I$ 構造を持つモジュライ空間 $\operatorname{Ell}^\infty_{{\cal A},I}$ を定義し、これが $X - I$ 上の相対次元 $d-1$ の半安定な準代数的スキームであることを示す。
• 互いにフロベニウス作用と局所不変量とを整合させる条件を満たす ${\cal A}$-$A'$-双加法的 ${\cal I}_i$ とその双対 $\{ {\cal J}_i \}$ を構成する。
• 異なる代数に対応するモジュライ空間を結ぶため、ねじれ関手 $\cdot \otimes_{{\cal A}} {\cal I}_\star$ と $\cdot \otimes_{{\cal A}'} {\cal J}_\star$ を適用する。
• これらの関手が $X - |\operatorname{\underline{Disc}}({\cal A}')|$ 上で $\operatorname{Ell}^\infty_{{\cal A},I}$ と $\operatorname{Ell}^\infty_{{\cal A}',I}$ の間に互いに逆の同型写像を誘導することを証明し、ねじれ関係を確立する。
• $\deg(\infty) > 1$ の場合にも、$k(\infty)$-値構造とフロベニウスねじれを用いて構成を拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 関数体上の異なる中心的単純代数に対応するドリンフェルト＝シュトラスラーのモジュラー多様体は、幾何学的に関係しているか？
• RQ2 ${\cal A}$-楕円層のモジュライを用いて、シュイマ曲線に関するチェレドニク＝ドリンフェルトの定理を正標数に一般化できるか？
• RQ3 ${\cal A}$-楕円層のモジュライ空間が互いにねじれの関係にあるための条件は何か？
• RQ4 局所不変量と整礎順序は、これらの多様体のモジュライ的構成にどのように影響を与えるか？
• RQ5 双加法的同型写像を用いて、分岐点を含むモジュライ空間を拡張できるか？

主な発見

• モジュライ空間 $\operatorname{Ell}^\infty_{{\cal A},I}$ は、$X - I$ 上の相対次元 $d-1$ の半安定な準代数的スキームであり、以前の結果を全基底にまで拡張する。
• 局所不変量が点 $\mathfrak{p}$ および $\infty$ において $\frac{1}{d}$ だけ異なる二つの中心的単純代数 $A$ と $A'$ に対して、対応するモジュライ空間は互いにねじれの関係にある。
• ねじれは、$ {\cal A}(\frac{1}{d}\infty_i) \otimes_{{\cal A}} {\cal I}_i = {\cal I}_{i+1} $ を満たす双加法的 ${\cal I}_i$ を用いて実現され、フロベニウス作用と整合する。
• モジュライ空間間の同型写像は関手 $E \mapsto E \otimes_{{\cal A}} {\cal I}_\star$ で与えられ、$X - |\operatorname{\underline{Disc}}({\cal A}')|$ 上で幾何学的同型を誘導する。
• 逆同型写像は $E' \mapsto (E' \otimes_{{\cal A}'} {\cal J}_\star)_{d-1}$ で与えられ、ねじれが圏同値であることを示す。
• $\deg(\infty) > 1$ の場合でも、$k(\infty)$-値構造とフロベニウスシフトを用いて構成を拡張でき、同型性が保たれる。