[論文レビュー] Two Bijections for Dyck Path Parameters

David Callan|ArXiv.org|Jun 19, 2004

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 1被引用数 19

ひとこと要約

本稿では、DyckパスとMotzkinパスの間の2つの新しい双対写像を提示し、それらが重要なパラメータを保存する。すなわち、UDU部分列の数とDDU部分列の数を保存する。最初の双対写像は、UUUを含まないDyckパスをMotzkinパスに写像し、それらの数がMotzkin数に等しいことを示す。2番目の双対写像は、二色のMotzkinパスを用い、DyckパスにおけるUDUおよびDDU出現の正確な分布式を確立する。この分布式は、段階的変換と一致ルールを用いた組合せ的構成により、Catalan数およびMotzkin数と関連づけられる。

ABSTRACT

Here we give two bijections, one to show that the number of UUU-free Dyck n-paths is the Motzkin number M_n, the other to obtain the (known) distributions of the parameters "number of UDUs" and "number of DDUs" on Dyck n-paths. The first bijection is straightforward, the second not quite so obvious.

研究の動機と目的

• UUUを含まないDyckパスとMotzkinパスの間の双対的対応を確立し、それらの数がMotzkin数 $ M_n $ に等しいことを示す。
• 二色のMotzkinパスの構成を用いて、DyckパスにおけるUDU部分列の数の正確な分布式を導出する。
• ステップ置換と降下の追跡を含む精緻な双対写像を用いて、DyckパスにおけるDDU部分列の数の正確な分布式を導出する。
• 短い非終端降下を含まないDyckパスを、地面レベルにフラットステップを含まないMotzkinパスと関連付けることで特徴づける。
• 特定のパスパラメータを保存する、逆写像が明示的かつ可逆なDyckパスとMotzkinパス間の変換を提供する。

提案手法

• UUUを含まないDyckパス内の各UUDを単一のUに変換し、残りのUDをフラットステップFに変換することでMotzkinパスを生成する。逆変換により元のDyckパスが回復される。
• フラットステップに2色（緑と黒）を割り当てることで、二色のMotzkinパスを構成し、異なるステップタイプによりパラメータを追跡可能にする。
• 段階的変換を適用する：Uステップはそのままで、DをUDDに置換し、緑のFをUDに、黒のFをUに置き換え、その後関連する下りステップの前にDを挿入する。
• Motzkinパスの末尾にDを追加して、すべてのフラットステップに明確な関連する下りステップを保証し、変換後にそれを削除することでDyckパスの構造を維持する。
• 変換の逆を行うために一致ルールを用いる：緑のFはUDペアの後にUが続くものに対応し、黒のFは長さ≥3の降下内にその対応するDを含むUステップに対応し、元のUステップはその対応するDの後にUが続くものに対応する。
• 緑のFステップ数やDステップ数ごとの二色Motzkinパスの既知の個数を活用し、DyckパスにおけるUDUおよびDDUの分布式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 UUUを含まないDyck $ n $-パスの正確な数は何か？ そして、これとMotzkinパスとの間の双対的対応はどのように確立できるか？
• RQ2 すべてのDyck $ n $-パスにおけるUDU部分列の数の分布は何か？ そして、これの組合せ的導出方法は何か？
• RQ3 すべてのDyck $ n $-パスにおけるDDU部分列の数の分布は何か？ そして、これと既知の組合せ的数列との関係は何か？
• RQ4 二色のMotzkinパスにおける緑のフラットステップ数を、DyckパスにおけるUDU部分列の数に双対写像する方法は何か？
• RQ5 Dyckパスの構造的性質（例：終端降下、短い降下）は、Motzkinパスの性質（例：地面レベルのフラットステップ）とどのように関連するか？

主な発見

• UUUを含まないDyck $ n $-パスの数は、正確に $ M_n $ であり、これはUUDをUに、UDをFに置換する可逆変換により得られる。
• ちょうど $ k $ 個のUDU部分列を含むDyck $ n $-パスの数は $ inom{n-1}{k} M_{n-1-k} $ であり、これはDonaghey分布として知られている。
• ちょうど $ k $ 個のDDU部分列を含むDyck $ n $-パスの数は $ inom{n-1}{2k} 2^{n-1-2k} C_k $ であり、これはTouchard分布として知られている。
• 双対写像により、二色Motzkinパスの緑のフラットステップがDyckパスにおけるUDU部分列に対応し、DステップがDDU部分列に対応する。パス構造は保存される。
• 地面レベルにフラットステップを含まないMotzkinパスは、最終のUDペairを削除することで、短い非終端降下を含まないDyckパスと双対的に対応する。
• 主な双対写像の逆写像により、元のパスタイプが回復される：緑のFステップはUDペアの後にUが続くものであり、黒のFステップは長さ≥3の降下内にその対応するDを含むUステップに対応する。