[論文レビュー] Two-block Springer fibers of types C and D: a diagrammatic approach to Springer theory

Catharina Stroppel, Arik Wilbert|arXiv (Cornell University)|Nov 29, 2016

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 56被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、タイプCおよびDの2ブロックの冪零軌道におけるスプリンジャー表現の図式的・位相的構成を提示する。カップ図を用いて、ウェイル群および成分群の作用を明示的に記述する。位相的スプリンジャー層と古典的スプリンジャー層との間にホメオモーティズムを確立し、ホモロジーのセル基底を構成し、コhomology環の明示的表示およびカジダン＝ルシュツァクセルのセルモジュールとスペクトモジュールの同型を導出する。

ABSTRACT

We explain an elementary topological construction of the Springer representation on the homology of (topological) Springer fibers of types C and D in the case of nilpotent endomorphisms with two Jordan blocks. The Weyl group and component group actions admit a diagrammatic description in terms of cup diagrams which appear in the definition of arc algebras of types B and D. We determine the decomposition of the representations into irreducibles and relate our construction to classical Springer theory. As an application we obtain presentations of the cohomology rings of all two-block Springer fibers of types C and D. Moreover, we deduce explicit isomorphisms between the Kazhdan-Lusztig cell modules attached to the induced trivial module and the irreducible Specht modules in types C and D.

研究の動機と目的

• タイプCおよびDの古典的リー型における2ブロックの冪零軌道に対するスプリンジャー表現の図式的・位相的構成を提供すること。
• 複雑な幾何的道具を避けて、カップ図を通じた組合せ論的記述により、ウェイル群および成分群の作用を記述すること。
• スプリンジャー表現の完全分解を決定し、古典的スプリンジャー理論と関連付けること。
• タイプCおよびDにおけるすべての2ブロックのスプリンジャー層に対するコhomology環構造の明示的表示を提示すること。
• タイプCおよびDにおけるカジダン＝ルシュツァクセルのセルモジュール（自明モジュールの誘導版）と、非可約スペクトモジュールとの明示的同型を構成すること。

提案手法

• カップ図に $ \lfloor k/2 \rfloor $ 個のカップを含むものとしてインデックスが付く、$ (S^2)^m $ の部分集合 $ S_a \subset (S^2)^m $ の和集合として、位相的スプリンジャー層 $ S^{2m-k,k}_{KL} $ を定義する。
• カップ図の組合せ論的性質に基づく $ S_a $ のセル分解を用いて、区別のつくホモロジー基底を構成する。
• 包含写像誘導写像 $ \gamma_{2m-k,k}: H^*(S^{2m-k,k}_{KL}) \to H^*((S^2)^m) $ の単射性を証明し、ホモロジーを安定部分空間として同定可能にする。
• $ H^*((S^2)^m) $ 上にウェイル群 $ W_G $ および成分群 $ A_x^G $ の可換作用を定義し、スプリンジャー層に制限する。
• 図形に $ m-k $ 個のレイを含むものと、$ 2m-k $ 個の頂点を含む拡張図形との関係を記述する拡張写像 $ \eta_{2m-k,k} $ を用い、次元の帰納的計算を可能にする。
• レイの数 $ m-k $ における再帰的議論を適用し、カップ図における非特別な外側カップの数え上げにより、ベッチ数を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 タイプCおよびDにおける2ブロックの冪零軌道に対するスプリンジャー表現を、初等的な代数的位相を用いてどのように構成できるか？
• RQ2 ウェイル群および成分群の作用が、スプリンジャー層のホモロジーにどのように図式的に記述できるか？
• RQ3 タイプCおよびDにおける2ブロックのスプリンジャー層のコhomology環はどのように分解され、どのような表示が与えられるか？
• RQ4 タイプCおよびDにおけるカジダン＝ルシュツァクセルのセルモジュール（自明モジュールの誘導版）と非可約スペクトモジュールとの明示的同型は何か？
• RQ5 位相的スプリンジャー層モデルは、古典的スプリンジャー理論およびアーティン的グリーンマンフォールドの幾何とどのように関係するか？

主な発見

• 位相的スプリンジャー層 $ S^{2m-k,k}_{KL} $ は、古典的スプリンジャー層 $ B^{2m-k,k}_{SO_{2m}} $ にホメオモーティックであり、タイプCおよびDの両方のモデルを提供する。
• ホモロジー $ H^*(S^{2m-k,k}_{KL}) $ は、カップ図によってインデックスが付く区別のつく基底を備え、カップ図の組合せ論に基づくセル分解を持つ。
• コhomologyの次元は $ \sum_{i=0}^{\lfloor (k-1)/2 \rfloor} \binom{m}{i} $ で与えられ、これは古典的スプリンジャー層のベッチ数と一致する。
• ウェイル群および成分群のホモロジー上での作用は、カップ図の移動を用いた図式的記述により明示的かつ計算可能に記述される。
• タイプCおよびDにおけるすべての2ブロックのスプリンジャー層のコhomology環は、カップ図基底から導かれる明示的表示を持つ。
• タイプCおよびDにおけるカジダン＝ルシュツァクセルのセルモジュール（自明モジュールの誘導版）と非可約スペクトモジュールとの明示的同型が構成された。