[論文レビュー] Two-body problem on spaces of constant curvature

А. В. Щепетилов, И. Э. Степанова|ArXiv.org|Jan 7, 2005

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 24被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、等曲率空間（球面および双曲空間）上での量子2体ヒルベルト作用素に対して、径数微分作用素と等長群の生成子を用いて、幾何的に自然な明示的表現を導出する。自己随伴性を証明し、群表現論を用いてスペクトル問題を常微分方程式系に還元し、S³ 上の特定のポテンシャルに対して正確なエネルギー準位を計算することで、古典的非可積分性にもかかわらず準正確可解性が明らかになる。

ABSTRACT

The two-body problem with a central interaction on simply connected constant curvature spaces of an arbitrary dimension is considered. The explicit expression for the quantum two-body Hamiltonian via a radial differential operator and generators of the isometry group is found. We construct a self-adjoint extension of this Hamiltonian. Some its exact spectral series are calculated for several potential in the space ${\bf S}^3$. We describe also the reduced classical mechanical system on a homogeneous space of a Lie group in terms of the coadjoint action of this group. Using this approach the description of the reduced classical two-body problem on constant curvature spaces is given.

研究の動機と目的

• 等曲率空間 Sⁿ および Hⁿ 上での2体量子ハミルトニアンに対して、統一的かつ幾何的に自然な表現を提供すること。
• 適切な定義域の指定を用いて、2体ハミルトニアンの自己随伴性を厳密に確立すること。
• 等長群の既約表現によってインdex化された常微分方程式系に、スペクトル問題を還元すること。
• S³ 上の特定の相互作用ポテンシャルに対して、明示的なスペクトル系列を計算し、準正確可解性を示すこと。

提案手法

• 配置空間上での量子2体ハミルトニアンを、径数微分作用素と、so(n+1) もしくは so*(1,n) の生成子（不変微分作用素）の和として表現する。
• 等長群の共軛軌道を用いたハミルトニアン還元法を用い、同相空間の余接 bundle 上の正準座標を用いて、古典的還元ハミルトニアンを導出する。
• 群表現論とスペクトル論を用いて、適切な定義域を指定することで、量子ハミルトニアンの自己随伴拡張を構成する。
• 等長群の既約表現へのヒルベルト空間の分解を用いて、スペクトル問題を常微分方程式系に還元する。
• S³ 上で特定のポテンシャルに対して、結果として得られる径数方程式を明示的に解き、閉形式のエネルギー準位を導出する。
• コンピュータ代数計算を避けるために、共軛軌道幾何学を用いて、量子ハミルトニアン構造から古典的還元ハミルトニアン関数を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 等曲率空間上での量子2体ハミルトニアンは、等長群の生成子と径数作用素を用いて、幾何的に自然な形に表現可能か？
• RQ2 Sⁿ および Hⁿ 上での2体ハミルトニアンは自己随伴的であり、その自己随伴拡張の正しい定義域は何か？
• RQ3 S³ 上の2体系のスペクトル問題は、古典的非可積分性にもかかわらず、特定のポテンシャルに対して正確な解をもつか？
• RQ4 同相空間上での還元古典的ハミルトニアンの構造は、共軛軌道を介して量子ハミルトニアンとどのように関係するか？
• RQ5 S³ における準正確可解性の幾何的・代数的起源は何か？

主な発見

• S³ 上の量子2体ハミルトニアンは、径数微分作用素と so(4) の生成子の和として表現され、群表現論を用いたスペクトル解析が可能になる。
• ハミルトニアンは自己随伴拡張を許容し、離散スペクトルを持つ明確な量子力学的系を保証する。
• S³ 上の特定の中心ポテンシャルに対して、スペクトル問題は有限個の常微分方程式系に還元され、その解が明示的なエネルギー準位を与える。
• 系は準正確可解性を示す：特定の径数方程式のすべてのエネルギー準位が閉形式で得られるが、全系は古典的に可積分ではない。
• S³ 上の還元古典的ハミルトニアンは、共軛軌道を用いた幾何的導出により、コンピュータ代数に依存せずに自然な形で得られる。
• 還元位相空間は T*I × O_β 差分同相であり、軌道 O_β はCasimir不変量 μ によって定まる。ハミルトニアン関数は余接 bundle 上の正準座標を明示的に用いて表現される。