[論文レビュー] Two-color balanced affine urn models with multiple drawings II: large-index and triangular urns

Markus Kuba, Hosam M. Mahmoud|arXiv (Cornell University)|Sep 30, 2015

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 19被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、複数回の抽出（サンプルサイズ $m \geq 1$）を伴う二色バランス型アフィン urn モデルの分析を拡張し、大索引 urn（$\Lambda > \frac{1}{2}$）および三角形 urn に注目する。白玉の個数 $W_n$ の正整数モーメントについて正確な表現を導出し、適切なスケーリングのもとでのモーメント収束を確立し、ガンマ関数および組合せ係数を含む極限モーメントの公式を提示する。これにより、第 I 部で開始されたこれらのモデルの確率的特徴付けが完遂される。

ABSTRACT

This is the second part of a two-part investigation. We continue the study of a class of balanced urn schemes on balls of two colors (white and black). At each drawing, a sample of size $m\ge 1$ is drawn from the urn and ball addition rules are applied; the special case $m=1$ of sampling only a single ball coincides with ordinary balanced urn models. We consider these multiple drawings under sampling with or without replacement. For the class of affine conditional expected value, we study the number of white balls after $n$ steps. The affine class is parametrized by $Λ$, specified by the ratio of the two eigenvalues of a reduced ball replacement matrix and the sample size, leading to three different cases: small-index urns ($Λ\le \frac 1 2$, and the case $Λ= \frac 1 2$ is critical), large-index urns ($Λ> \frac 1 2$), and triangular urns. In Part I we derived a central limit theorem for small index urns, and proved almost-sure convergence for large index and triangular urn models. In the present paper (Part II), we continue the study of affiance urn schemes and study the moments of large-index urns and triangular urn models. We show moment convergence under suitable scaling and we also provide expressions for the moments.

研究の動機と目的

• 大索引および三角形 urn モデルにおける複数回抽出スキーム下での白玉個数の正整数モーメントを特徴付けること。
• 第 I 部で得られたほとんど確実収束結果を補完するため、適切なスケーリングのもとでこれらの urn モデルのモーメント収束を確立すること。
• スケーリングされた白玉個数の極限モーメントについて、ガンマ関数および組合せ係数を含む明示的表現を導出すること。
• 小索引ケースを超えてアフィン urn モデルの解析的枠組みを拡張し、極限分布の分類を完遂すること。

提案手法

• アフィン条件付き期待値性質 $\mathbb{E}[W_n \mid \mathcal{F}_{n-1}] = \alpha_n W_{n-1} + \beta_n$ から導かれるマルティンググール構造を用いる。
• 大索引モデルのための分布の中心化のために、シフトされた確率変数 $\tilde{W}_n = W_n - \frac{n a_m}{1 - \Lambda}$ を導入する。
• 再帰関係と重み付き有向無閉路グラフ上のパス数え上げを用いてモーメントを計算し、係数 $\varphi_{n,s,k}$ および $\tilde{\varphi}_{s,k}$ を組合せ的総和によって導出する。
• 極限モーメント $E_s = \lim_{n \to \infty} \mathbb{E}\left[\left(\frac{\tilde{W}_n}{n^\Lambda}\right)^s\right]$ は、ガンマ関数の積と初期白玉個数に関する有限和で表現される。
• モデルの分類には urn 索引 $\Lambda = \frac{m}{\sigma}(a_{m-1} - a_m)$ を用いる。
• 解析的組合せ論の技術を一般化し、$m \geq 1$ の urn モデルに適用し、$m=1$ の場合に用いられた手法を拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複数回抽出を伴う大索引 urn モデルにおける白玉個数の正整数モーメントの正確な表現は何か？
• RQ2 大索引および三角形 urn におけるスケーリングされた白玉個数のモーメントは、漸近的にどのように振る舞うか？
• RQ3 ガンマ関数などの特殊関数を用いて、極限モーメントを閉形式で表現できるか？
• RQ4 $m \geq 1$ のアフィン urn モデルのモーメントを計算するための統一的組合せ的枠組みは存在するか？
• RQ5 アフィンケースを超えて、これらのモデルのモーメント母関数または再帰関係の構造は何か？

主な発見

• シフトされた白玉個数 $\tilde{W}_n$ の $s$ 次正整数モーメントは $\mathbb{E}[\tilde{W}_n^s] = \sum_{k=0}^s \varphi_{n,s,k} W_0^k$ で与えられ、係数 $\varphi_{n,s,k}$ はパス数え上げから導出される。
• 極限モーメント $E_s = \lim_{n \to \infty} \mathbb{E}\left[\left(\frac{\tilde{W}_n}{n^\Lambda}\right)^s\right]$ は存在し、ガンマ関数の積と初期白玉個数に関する有限和で表現される。
• モデル $\mathcal{M}$ に対しては、$E_s = \prod_{\ell=1}^{s^*} \frac{\Gamma\left(\frac{T_0 + 1 - \ell}{\sigma}\right)}{\Gamma(\lambda_{\ell,s})} \sum_{k=0}^s \tilde{\varphi}_{s,k} W_0^k$ が成り立ち、$\tilde{\varphi}_{s,k}$ は整数列に関する無限和で定義される。
• モデル $\mathcal{R}$ に対しては、$E_s = \frac{\Gamma\left(\frac{T_0}{\sigma}\right)^s}{\prod_{\ell=1}^s \Gamma(\mu_{\ell,s})} \sum_{k=0}^s \tilde{\varphi}_{s,k} W_0^k$ が成り立ち、初期総玉個数 $T_0$ に依存する。
• $\tilde{\varphi}_{s,0}$ は、項 $f_{j,s,s}$ の積とネストされたパス数え上げを含む絶対収束無限和である。
• 大索引および三角形 urn の両方においてモーメント収束が成立し、極限分布はモーメント $E_s$ で特徴付けられる。