[論文レビュー] Two Curves, One Price :Pricing & Hedging Interest Rate Derivatives Decoupling Forwarding and Discounting Yield Curves

Marco Bianchetti|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2008

Stochastic processes and financial applications参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、2007年の金融危機以降に生じた金利先物市場の変化に伴い、前向き金利曲線と割引金利曲線を分離することで、単一通貨金利デリバティブの価格設定とヘッジに適した二重曲線フレームワークを提案する。測度変換に起因するクォント調整を含む一般化されたアービタージュフリー価格設定式を導出しており、非無視可能なボラティリティおよび相関効果のため、調整なしの価格はアービタージュの余地があることを示している。

ABSTRACT

We revisit the problem of pricing and hedging plain vanilla single-currency interest rate derivatives using multiple distinct yield curves for market coherent estimation of discount factors and forward rates with different underlying rate tenors. Within such double-curve-single-currency framework, adopted by the market after the credit-crunch crisis started in summer 2007, standard single-curve no-arbitrage relations are no longer valid, and can be recovered by taking properly into account the forward basis bootstrapped from market basis swaps. Numerical results show that the resulting forward basis curves may display a richer micro-term structure that may induce appreciable effects on the price of interest rate instruments. By recurring to the foreign-currency analogy we also derive generalised no-arbitrage double-curve market-like formulas for basic plain vanilla interest rate derivatives, FRAs, swaps, caps/floors and swaptions in particular. These expressions include a quanto adjustment typical of cross-currency derivatives, naturally originated by the change between the numeraires associated to the two yield curves, that carries on a volatility and correlation dependence. Numerical scenarios confirm that such correction can be non negligible, thus making unadjusted double-curve prices, in principle, not arbitrage free. Both the forward basis and the quanto adjustment find a natural financial explanation in terms of counterparty risk.

研究の動機と目的

• 本稿の目的は、2007年の金融危機以降に生じた標準的な単一曲線アービタージュフリー価格設定の破綻を、前向き金利曲線と割引金利曲線の乖離に起因して解消することである。
• 本稿は、前向き金利と割引金利に別々にブートストラップされた複数の金利曲線がデリバティブ価格設定およびヘッジに与える影響を調査する。
• 本稿の目的は、二重曲線フレームワーク下でのバニラ金利デリバティブに対する一貫性があり、アービタージュフリーな価格設定式を導出することである。
• 本稿は、フォワードベーシスおよびクォント調整の金融的意義を、カウンターパartyリスクおよび市場動態の観点から定量的に評価することを目的としている。
• 本研究は、実務家が直感的に理解できる、パラメータが少なく、透明性の高いモデルを提供することを目的としている。

提案手法

• 本稿は、前向き金利（∁f）と割引係数（∁d）にそれぞれ別個の金利曲線を用いる二重曲線フレームワークを導入し、同じティーノルを持つ均質な金融商品から各曲線をブートストラップする。
• フォワードベーシス曲線は、式（20）〜（22）を用いて、2つの曲線からの割引金利および前向き金利の関数として定式化され、ゼロクーポンボンド価格の観点からベーシスを表現する。
• 外国為替のアナロジーを適用し、2つの曲線間の測度変換に起因するクォント調整を導出する。式（59）〜（60）および（85）〜（86）に明示的な式が示されている。
• クォント調整は、前向き金利のボラティリティ（σf）、為替レートのフォワードボラティリティ（σX）、およびそれらの相関（ρfX）に依存し、式（60）および（86）で形式化されている。
• 本モデルは、デフォルトフリーおよびリスクのあるゼロクーポンボンドを含む単純な信用モデルを用いてカウンターパartyリスクを組み込み、フォワードベーシスとクォント調整を信用リスクに関連付ける。
• 数値的シナリオを用いて、フォワードベーシスおよびクォント調整が金融商品価格に与える影響、特に市場が圧迫状態にある場合の影響を示している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2007年の金融危機以降、前向き金利と割引金利に別々の金利曲線が用いられる場合、金利デリバティブのアービタージュフリー価格設定にどのような影響を与えるか？
• RQ2 フォワードベーシス曲線が、特に市場が圧迫状態にある場合に、デリバティブ価格に与える定量的影響は何か？
• RQ3 2つの曲線間の測度変更に起因するクォント調整は、FRA、スワップ、キャップ／フロア、スワプティオンの価格設定にどのように影響を与えるか？
• RQ4 フォワードベーシスおよびクォント調整の金融的解釈は、カウンターパartyリスクの観点からどのように説明できるか？
• RQ5 調整なしの二重曲線価格はアービタージュフリーとみなせるのか？また、どのような条件下で調整が無視できないか？

主な発見

• 市場のベーシススワップレートが滑らかであっても、割引曲線と前向き曲線のわずかな差異が拡大することで、フォワードベーシス曲線は複雑で振動的な期間構造を示すことがある。
• フォワードベーシスは、式（20）〜（22）を用いて、割引金利および前向き金利の関数として形式的に表現されており、曲線ダイナミクスと価格設定の間の定量的関係を明確にしている。
• FRAやスワップなどのデリバティブに適用されるクォント調整は、前向き金利のボラティリティ（σf）、為替レートのフォワードボラティリティ（σX）、およびそれらの相関（ρfX）に依存し、σX ≠ 0 かつ ρfX ≠ 0 の場合に顕著な効果を示す。
• 数値的シナリオにより、クォント調整が顕著であることが確認され、調整なしの二重曲線価格は原則としてアービタージュフリーではないことが示された。
• フォワードベーシスおよびクォント調整は、デフォルトフリーおよびリスクのあるゼロクーポンボンドを含む単純な信用モデルにおいて、カウンターパartyリスクの自然な金融的解釈を提供する。
• 本モデルは、実務的実装に適した、直感的な価格設定式を備えた透明性が高く、パラメータが少ないフレームワークを提供しており、市場の異常を早期に検出可能である。