[論文レビュー] Two-dimensional Artin groups with CAT(0) dimension three

Noel Brady, John Crisp|ArXiv.org|Dec 13, 2000

Geometric and Algebraic Topology参考文献 13被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、幾何次元が2であるがCAT(0)次元が3である3生成子アーティン群を構成し、CAT(0)次元が幾何次元を厳密に上回り得ることを示している。トポロジカルおよび幾何的群論的手法を用いて、著者らは特定の奇数関係子をもつアーティン群（例：m,n ≥ 3 が奇数のときの A(m,n,2)）が、2次元CAT(0)複体上で真に不連続に作用できないことを証明しているが、一方で3次元非正曲率なピecewise ユークリッド構造を有している。これにより、幾何次元とCAT(0)次元の間に有限のギャップが存在することが立証された。

ABSTRACT

We exhibit 3-generator Artin groups which have finite 2-dimensional Eilenberg-Mac Lane spaces, but which do not act properly discontinuously by semi-simple isometries on a 2-dimensional CAT(0) complex. We prove that infinitely many of these groups are the fundamental groups of compact, non-positively curved 3-complexes. These examples show that the geometric dimension of a CAT(0) group may be strictly less than its CAT(0) dimension.

研究の動機と目的

• アーティン群における幾何次元とCAT(0)次元の関係を調査すること。
• 特定の3生成子アーティン群が2次元CAT(0)複体上で真に不連続に作用できるかどうかを特定すること。
• アーティン群A(m,n,2)の明示的な3次元CAT(0)構造を構成すること。
• CAT(0)次元が幾何次元を厳密に上回り得ることを示すこと。

提案手法

• 著者らは、最小集合（minsets）および移動長の性質を用いて、アーティン群がCAT(0)空間上で作用する様子を分析した。
• 平坦トーラス定理および被覆次元論の結果を含むCAT(0)幾何学の結果を応用した。
• ピースワイズユークリッド構造を用いて、アーティン群A(m,n,2)の3次元K(G,1)複体を構成した。
• エイレンバーグ＝マクレイン空間およびリップス複体に関する先行研究の結果を活用し、幾何次元が2であることを確立した。
• 奇数アーティン関係子の構造を分析することで、2次元作用における障害を示した。
• クライナーの次元論および被覆次元論を用いて、CAT(0)作用におけるトポロジカル制約を強化した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 幾何次元が2である3生成子アーティン群が、CAT(0)次元を2より大きくとれるか？
• RQ2 奇数 m,n ≥ 3 をもつA(m,n,2)型アーティン群は、2次元CAT(0)複体上で真に不連続な作用をもつか？
• RQ3 A(m,n,2)が半単純等長変換によって真に不連続に作用することができる最小のCAT(0)空間の次元は何か？
• RQ4 すべてのA(m,n,2)群（有限個を除く）に対して3次元CAT(0)構造を構成できるか？
• RQ5 torsion-free 群において、幾何次元とCAT(0)次元の間に有限のギャップが存在するか？

主な発見

• 奇数の整数 m,n ≥ 3 に対して、アーティン群 A(m,n,2) は幾何次元が2であるが、任意の2次元CAT(0)複体上で半単純等長変換によって真に不連続に作用できない。
• A(m,n,2)型アーティン群のうち、有限個を除くすべては、コンパクトで非正曲率な3次元ピースワイズユークリッド複体の基本群である。
• A(m,n,p) の幾何次元が2であることは、1/m + 1/n + 1/p ≤ 1 であることに同値であり、これは無限個の奇数 m,n ≥ 3 をもつ A(m,n,2) 群に対して成り立つ。
• 無限個の3生成子アーティン群が有限の幾何次元2をもつが、CAT(0)次元は3であり、厳密なギャップが立証された。
• 非作用結果の証明は、CW複体に限らず、任意のCAT(0)空間に対しても成立する。これは被覆次元およびクライナーの次元論のおかげである。
• 中心が自明でないなどの追加仮定がなければ、CAT(0)次元は直積に関して加法的でないが、Zⁿとの積を用いることで有限ギャップを依然として構成可能である。