[論文レビュー] Two-dimensional categorified Hall algebras

Mauro Porta, Francesco Sala|arXiv (Cornell University)|Mar 18, 2019

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 22被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、連続的層、ヒッグス層、平坦なバンドル、局所的系の導来モジュライスタックを用いて、滑らかな曲線および曲面における2次元的カテゴリフィケーション化ハル代数を導入する。導来強化されたモジュライスタックを用いることで、有界なコherent層の導来圏におけるE1-モノイダル構造を構成し、既存のK理論的およびコホモロジー的ハル代数をカテゴリフィケーション化する。主な貢献は、これらの新しい構造を通じて、リーマン＝ヒルベルト対応および非アーベルホッジ対応をカテゴリフィケーション化されたレベルにまで拡張することにある。

ABSTRACT

In the present paper, we introduce two-dimensional categorified Hall algebras of smooth curves and smooth surfaces. A categorified Hall algebra is an associative monoidal structure on the stable $\infty$-category $\mathsf{Coh}^{\mathsf{b}}(\mathbb{R}\mathsf{M})$ of complexes of sheaves with bounded coherent cohomology on a derived moduli stack $\mathbb{R}\mathsf{M}$. In the surface case, $\mathbb{R}\mathsf{M}$ is a suitable derived enhancement of the moduli stack $\mathsf{M}$ of coherent sheaves on the surface. This construction categorifies the K-theoretical and cohomological Hall algebras of coherent sheaves on a surface of Zhao and Kapranov-Vasserot. In the curve case, we define three categorified Hall algebras associated with suitable derived enhancements of the moduli stack of Higgs sheaves on a curve $X$, the moduli stack of vector bundles with flat connections on $X$, and the moduli stack of finite-dimensional local systems on $X$, respectively. In the Higgs sheaves case we obtain a categorification of the K-theoretical and cohomological Hall algebras of Higgs sheaves on a curve of Minets and Sala-Schiffmann, while in the other two cases our construction yields, by passing to $\mathsf K_0$, new K-theoretical Hall algebras, and by passing to $\mathsf H_\ast^{\mathsf{BM}}$, new cohomological Hall algebras. Finally, we show that the Riemann-Hilbert and the non-abelian Hodge correspondences can be lifted to the level of our categorified Hall algebras of a curve.

研究の動機と目的

• 滑らかな曲面および曲線における連続的層のための導来強化モジュライスタックを用いた、カテゴリフィケーション化ハル代数の構成。
• 曲線における連続的層およびヒッグス層の既知のK理論的およびコホモロジー的ハル代数（CoHAs）をカテゴリフィケーション化すること。
• 平坦ベクトルバンドルおよび局所的系への構成の拡張により、脱カテゴリフィケーションの段階で新たなK理論的およびコホモロジー的ハル代数が得られること。
• リーマン＝ヒルベルトおよび非アーベルホッジ対応をカテゴリフィケーション化されたハル代数のレベルにまで引き上げること。
• 導来幾何学がこのようなカテゴリフィケーションに不可欠であることを示すこと、すなわち、完全な障害理論だけでは不十分であることを示すこと。

提案手法

• 曲線および曲面における連続的層のための導来モジュライスタックRMおよびRMextを用い、古典的モジュライスタックを強化することで、拡張写像の正則性を向上させる。
• 導来プッシュプル構成Rp∗∘q!を、拡張の導来モジュライスタック上で用いてハル積を定義し、導来写像Rpのより良い正則性を活用する。
• Cohb(RM)における安定∞-圏上のE1-モノイダル構造を構成し、CoHAsの畳み込み積をカテゴリフィケーション化する。
• dgカテゴリからproカテゴリへの関手の拡張を可能にするために、ind対象および双変関手の理論を適用し、導来幾何学における対応の構成を可能にする。
• ind対象の文脈におけるベースチェンジおよびBeck–Chevalley条件を用いて、異なる幾何的構造間でのカテゴリフィケーション化ハル積の整合性を保証する。
• ind-準コンパクトスタックおよび2-proカテゴリの枠組みを用いて、導来幾何的スタックにおけるQCohpro上の右ラックス対称モノイダル構造を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 導来強化されたモジュライスタックを用いて、2次元的カテゴリフィケーション化ハル代数を一様に構成することは可能か？
• RQ2 導来強化は、古典的モジュライスタックと比較して、拡張写像の正則性をどのように向上させるか？
• RQ3 リーマン＝ヒルベルトおよび非アーベルホッジ対応は、カテゴリフィケーション化されたハル代数のレベルにまで引き上げられるか？
• RQ4 平坦バンドルおよび局所的系におけるカテゴリフィケーション化構造から、どのような新たなK理論的およびコホモロジー的ハル代数が生じるか？
• RQ5 完全な障害理論に依存せずに、カテゴリフィケーション化ハル代数を構築することは可能か？

主な発見

• 曲面における連続的層のモジュライスタックの導来強化により、拡張写像Rpがlciであることが保証され、整合的なハル積の構成が可能になる。
• 曲線におけるヒッグス層の導来モジュライスタック上のカテゴリフィケーション化ハル代数は、MinetsおよびSala–SchiffmannのK理論的およびコホモロジー的ハル代数をカテゴリフィケーション化する。
• 曲線における平坦ベクトルバンドルおよび局所的系に対しては、K0への写像により新たなK理論的ハル代数が得られ、HBM∗を介して新たなコホモロジー的ハル代数が得られる。
• リーマン＝ヒルベルト対応は、ヒッグス層のカテゴリフィケーション化ハル代数と平坦バンドルのそれとの間の対称モノイダル同値に引き上げられる。
• 非アーベルホッジ対応も同様にカテゴリフィケーション化されたレベルにまで引き上げられ、ヒッグス層のハル代数と局所的系のハル代数の間の対称モノイダル同値が確立される。
• 導来幾何学の使用は本質的である：カテゴリフィケーション化された構造は導来強化に非自明に依存しており、完全な障害理論だけからは回復できない。