[論文レビュー] Two-dimensional Finsler metrics of constant curvature

Zhongmin Shen|ArXiv.org|Sep 15, 2001

Advanced Differential Geometry Research参考文献 11被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、既存のフィン슬러計量の体積保存変換に基づく変形技術を用いて、2次元球面 𝕊² および開円板 𝕏²(ρ) 上に、旗曲率 K = 1 および K = −1 または −1/4 をもつ無限に多くの非射影的平坦でないランダース計量を構成する。主な貢献は、次元2において、非リーマン的で非射影的平坦な一定旗曲率のフィン슬ラース計量が存在することを示したことであり、これにより、曲率と対称性の制約に関する従来の仮定に挑戦するものである。

ABSTRACT

A Riemannian metric is of constant curvature if and only if it is locally projectively flat. There are infinitely many locally projectively flat Finsler metrics of constant curvature, that are special solutions to the Hilbert's Fourth Problem. In this paper, we use the technique in the paper titled "Finsler metrics with K=0 and S=0" (math.DG/0109060) to construct infinitely many Finsler metrics on the 2-sphere with constant curvature K=1 and infinitely many Finsler metrics on the 2-disk with constant curvature K = -1. These metrics are not projectively flat. So far, the classification of Finsler metrics of constant curvature has not been completely done yet. These examples are important to the classification problem.

研究の動機と目的

• 非ゼロの一定旗曲率をもつが局所的に射影的平坦でない2次元フィン슬ラース計量の明示的例を構成すること。
• フィン슬ラースジオメトリ―における長年の未解決問題である、一定曲率の非射影的平坦なフィン슬ラース計量の分類の難しさに対処すること。
• ランダース計量の一定曲率に関する安田・島田の定理が次元2に完全に拡張されないことを示すこと。
• 標準計量 on 𝕊² および 𝕏² に対する体積保存変形によって得られるランダース計量の幾何的性質および曲率的性質を調査すること。
• ベクトル場による変形によってベースとなるフィン슬ラース計量を変形することにより、制御された曲率をもつフィン슬ラース計量を生成する新規な手法を提供すること。

提案手法

• 体積保存変形技術を適用：Finsler計量 Φ とベクトル場 v が与えられたとき、十分小さい ε に対して、方程式 Φ((y/F(y)) − εv_p) = 1 を用いて新たな計量 F を定義する。
• 得られる F は、F = α + β というランダース計量であり、α と β は、h(y,y)、h(v,y)、h(v,v) を含む代数的式を用いて、ベース計量 Φ とベクトル場 v から導出される。
• この構成により、Φ と F のバースェン＝ハウスドルフ体積形式が等しくなることが保証され、体積は保存されたまま曲率と対称性が変化する。
• 2次元球面では、標準計量 Φ を用い、p = (x,y,z) ∈ 𝕊² において v_p = (−y,x,0) とすることで、K = 1 をもつ F を得る。
• 円板では、標準的ケイン計量 Φ を用い、𝕏² 上で v_p = (−y,x) とすることで、ε に応じて K = −1 または K = −1/4 をもつ F を得る。
• 測地線係数 G^i と曲率テンソルは、r_ij、s_ij、s^i_j、s_j を含む明示的公式を用いて計算され、一定旗曲率の検証がなされる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元において、非射影的平坦な一定旗曲率のフィン슬ラース計量を構成できるか？
• RQ2 ランダース計量の一定曲率に関する安田・島田の定理における曲率と対称性の制約は、次元2においても成り立つか？
• RQ3 F が一定旗曲率をもつが β がキリング形式でない場合、ランダース計量 F = α + β のリーマン的部部分 α の挙動はいかなるものか？
• RQ4 このような構成において、α のガウス曲率はどのように振る舞い、いつ定数となるのか？
• RQ5 標準フィン슬ラース計量の体積保存変形によって、制御された一定旗曲率をもつ新しいフィン슬ラース計量を生成できるか？

主な発見

• 𝕊² 上に構成されたフィン슬ラース計量は、一定旗曲率 K = 1 をもち、ε = 0 の場合を除き局所的に射影的平坦でない。
• 𝕏²(ρ) 上の計量は、一定旗曲率 K = −1 または K = −1/4 をもち、ε ≠ 0 の場合には局所的に射影的平坦でない。
• ランダース計量 F = α + β のリーマン的部部分 α のガウス曲率は、ε = 0, ±1 を除き定数でない。ε = ±1 のとき、α のガウス曲率は −4 に等しい。
• すべての構成された計量において、S-曲率 S は恒等的に 0 であり、スプライ曲率に特別な対称性があることを示している。
• 旗曲率は、2通りの独立した方法により厳密に検証された：リーマン曲率テンソルの計算と、c = 1/2 を用いたリッチ曲率の公式の適用。
• この手法により、𝕊² および 𝕏²(ρ) 上に無限に多くのこのような計量が得られ、非リーマン的で非射影的平坦な一定曲率のフィン슬ラース計量の豊かな族が存在することが示された。