[論文レビュー] Two-dimensional Kac-Rice formula. Application to shot noise processes excursions

Raphaël Lachièze-Rey|arXiv (Cornell University)|Jul 19, 2016

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ひとこと要約

本稿は、$ \mathbb{R}^2 $ から $ \mathbb{R} $ への $ C^2 $ 確定関数 $ f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} $ のエク cursion セットのオイラー乗数を、$ f $、その勾配 $ \nabla f $、およびヘッシアンを含む $ \mathbb{R}^2 $ 上の積分として表す2次元のKac-Rice公式を確立する。この公式により、密度に関する仮定を必要とせず、ショットノイズ過程を含む確率的場の期待オイラー乗数の計算が可能となり、わずかな正則性条件のもとで連続性およびモーメントの有限性が保証される。

ABSTRACT

Given a deterministic function f:R^2->R atisfying suitable assump- tions, we show that for h smooth with compact support, the integral of the Euler characteristic of the excursion set of f above some level u against a test function h corresponds to the Lebesgue integral on R^2 of a bounded quantity depending on grad(f)(x),h(f(x)),h'(f(x)) and \\partial_{ii}f(x),i = 1,2. This formula can be seen as a 2-dimensional analogue of Kac-Rice formula. It yields in particular that the left hand member is continuous in the argument f, for an appropriate norm on the space of C2 functions. If f is a random field, the expectation can be passed under integrals in this identity under minimal requirements, not involving any density assumptions on the marginals of f or his derivatives. We apply these results to give a weak expression of the mean Euler characteristic of a shot noise process, and the finiteness of its moments.

研究の動機と目的

• 2次元におけるエクストリションセットのオイラー乗数に対する決定的積分公式を導出すること。これは古典的なKac-Rice手法の拡張を目的とする。
• $ C^2 $位相におけるオイラー乗数関数の連続性を確立し、確率的場における摂動の頑健な解析を可能にする。
• 特にショットノイズ過程を含む、最小限の確率的仮定のもとで、確率的 $ C^2 $ 場の平均オイラー乗数の弱定式化を提供すること。
• 場またはその導関数の密度条件に依存しないようにすることにより、非ガウス型および非正則な場への応用範囲を広げること。
• 導出された公式を用いて、ショットノイズ過程におけるオイラー乗数のモーメントの有限性を示すこと。

提案手法

• 共面積および変動的技法を適用することで、2次元のKac-Rice公式を導出し、エクストリションセットのオイラー乗数を $ \mathbb{R}^2 $ 上の積分として表現する。
• 関数 $ \chi_f(h) = \int_\mathbb{R} h(u) \chi(\{f \geq u\}) du $（オイラー原始関数）を導入し、$ h(f(x)) $、$ h'(f(x)) $、$ \partial_i f(x) $、および $ \partial_{ii}^2 f(x) $ を含むLebesgue積分に等しいことを示す。
• 勾配成分の符号に基づいて $ \mathbb{R}^2 $ 内の4分円領域 $ Q_1, Q_2 \subset \mathbb{R}^2 $ を定義し、オイラー乗数への寄与を局所化する。
• Morse条件ではなく、ほとんど everywhere での2回微分可能性を仮定する $ \mathcal{C}^{1,1} $ 正則性を用いることで、臨界点数え上げの範囲を超えて適用可能範囲を拡大する。
• 定常性および等方性を活用してショットノイズ過程に公式を適用し、特性関数を計算し、モーメントの有限性を導出する。
• 符号関数の不適切積分表現 $ \int_0^\infty \frac{\sin(ux)}{u} du = \frac{\pi}{2} \text{sign}(u) $ を用いて、導関数の符号関数の積を含む期待値表現を扱う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 臨界点数え上げに依存せずに、2次元のエクストリションセットのオイラー乗数を滑らかな領域上の積分として表現できるか？
• RQ2 Morse条件や密度仮定がなくても、$ C^2 $-位相収束においてオイラー乗数関数が連続のままであるか？
• RQ3 場の周辺分布や導関数の密度を仮定しないで、確率的場の平均オイラー乗数を計算できるか？
• RQ4 ショットノイズ過程におけるオイラー乗数のモーメントの有限性を保証する条件は何か？
• RQ5 弱定式化を用いて、非ガウス型・非Morse型の場にKac-Rice公式をどのように適応できるか？

主な発見

• エクストリションセット $ \{f \geq u\} $ のオイラー乗数は、$ \mathbb{R}^2 $ 上のLebesgue積分として表現され、$ h'(f(x)) \partial_i f(x)^2 $ および $ h(f(x)) \partial_{ii}^2 f(x) $ を勾配領域 $ Q_i $ 上の指示関数で重みづけた形で表される。
• 公式は $ \mathcal{C}^{1,1} $ 正則性のもとで成立し、Morseでない関数にも適用可能であり、$ C^2 $ ノルムにおけるオイラー原始関数の連続性を保証する。
• 確率的 $ C^2 $ 場において、$ f(x) $ やその導関数の密度を仮定せずとも、オイラー原始関数の期待値を計算可能であり、非ガウス型場の解析が可能になる。
• ショットノイズ過程の平均オイラー乗数は有限であり、場およびその導関数の弱いモーメント条件のもとで、そのモーメントが有限であることが証明される。
• 等方的かつ定常なショットノイズ場において、オイラー原始関数の特性関数は、$ (f(0), \nabla f(0), \partial_{ii}^2 f(0)) $ の特性関数の導関数を用いて表現され、特定の状況では明示的計算が可能になる。
• 公式により、大域的な領域におけるオイラー乗数の漸近的挙動が弱収束および $ o(|W_n|) $ の誤差制御を用いて導出可能になる。