[論文レビュー] Two dimensional KP systems and their solvability

Alexander Zheglov|ArXiv.org|Mar 28, 2005

Nonlinear Waves and Solitons被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、2変数における可換な$\alpha$-微分作用素のペアの等スペクトル変形の普遍族のためのマスタ方程式として、一般化された2次元KP階層$(KP)_\alpha$を導入する。すべての初期条件に対して一意的可解性を証明し、高次元幾何的データ上の等スペクトルフローへの接続を確立することで、古典的KP理論を多次元設定に一般化する。

ABSTRACT

In this paper we introduce new various generalizations of the classical Kadomtsev-Petviashvili hierarchy in the case of operators in several variables. These generalizations are the candidates for systems that should play the role, analogous to the role of the KP hierarchy in the classical KP theory, in a generalized KP theory. In particular, they should describe flows of some generalized geometric datas, including those described by A.N.Parshin, for certain initial conditions. The unique solvability of the initial value problem for the generalized KP hierarchies is established. The connection of these systems with universal families of isospectral deformations of certain pairs of commuting differential operators is opened. To prove the solvability of the systems we generalize several results from the works of M.Mulase and A.N.Parshin.

研究の動機と目的

• 2変数における擬微分作用素の2次元系への古典的KP階層の一般化を図ること。
• 2変数における可換な微分作用素のペアの等スペクトル変形の普遍族のためのマスタ方程式を確立すること。
• パーシンの一般化されたKP系に関する未解決の問題、すなわち可解性と幾何的解釈の解明。
• $\alpha$-微分作用素とそれらに関連する階層$(KP)_\alpha$を、従来の研究よりも弱い仮定の下で定義し、それらを研究すること。
• これらの一般化階層を用いて、クリチェバー対応および$\tau$-関数形式を高次元幾何的データへと拡張すること。

提案手法

• 環$A$上での2次元擬微分作用素への古典的ラックス形式の一般化を、$k[[x_1,x_2]]$および$k((x_1))((x_2))[\log x_1, \log x_2]$を含む。
• $\alpha: \mathbb{Z}_+ \to \mathbb{R}$を用いて順序制約を課した、擬微分作用素の部分空間$D_R^{\alpha,W,L_{00},M_{00}}$として$\alpha$-微分作用素を定義する。
• このような$\alpha$-微分作用素の等スペクトル変形を支配するマスタ方程式として、系$(KP)_\alpha$を導入する。
• すべての初期データに対して、時刻に依存する擬微分作用素の一般化された環における$(KP)_\alpha$の一意的可解性を証明する。
• Sato-Wilson型系および等スペクトル変形の普遍族の理論を用いて、発展方程式を導出する。
• 可逆作用素$S(t)$による共役を介して、階層と可換ペアの標準形との間の接続を確立し、構造の保存を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的KP階層を、複数変数における可換な微分作用素の2次元系に一般化できるか？
• RQ2 一般化されたパーシン系は非自明な解を有するのか、それともより大きなマスタ方程式の部分系にすぎないのか？
• RQ3 2変数における可換な$\alpha$-微分作用素のペアのための等スペクトル変形の普遍族を構成できるか？
• RQ4 順序関数$\alpha$にどのような条件を課えると、得られる一般化KP階層の一意的可解性が保証されるか？
• RQ5 これらの一般化階層は、高次元幾何におけるクリチェバー対応および$\tau$-関数とどのように関係するか？

主な発見

• $\alpha: \mathbb{Z}_+ \to \mathbb{R}$で$\alpha(0) \leq 0$を満たす任意の関数に対して、時刻に依存する擬微分作用素の環において、系$(KP)_\alpha$はすべての初期条件に対して一意的可解である。
• 古典的KP階層は$\alpha = 0$の場合に対応し、すべての等スペクトル変形のマスタ方程式は$\alpha = \infty$に対応する。
• 元のパーシン系には自明な解しか存在せず、これは普遍的なマスタ方程式として機能できないことを示唆しているが、その部分系$(KP)_\alpha$は可能である。
• 階層$(KP)_\alpha$は、補題10の条件を満たす$\alpha$-微分作用素の等スペクトル変形の普遍族のマスタ方程式として機能する。
• 修正されたSato-Wilson系の解$S(t)$により$P(t) = S(t)NP(0)S(t)^{-1}$が成り立ち、標準形が保たれ、等スペクトル性が確認される。
• 線形な$\alpha$および$W=1$の場合、空間$D_R^{\alpha,W,L_{00},M_{00}}$は自然な環構造を獲得し、階層内での一貫した代数的演算が可能になる。