[論文レビュー] Two Dimensional NLS Equation With Random Radial Data

Yu Deng|arXiv (Cornell University)|Aug 16, 2010

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 13被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、超臨界正則性空間における回転対称初期データと調和ポテンシャルを伴う2次元非線形シュレーディンガー方程式に対して、ほとんど確実な大域的適定性およびギブズ測度の不変性を確立する。非線形スムージング効果とラゲール関数の$L^p$推定値を組み合わせることで、低正則性の問題を克服し、$p \geq 3$ が奇数である非焦点型NLS（ポテンシャルなし）に対しても、ほとんど確実な大域的適定性と散乱を証明する。

ABSTRACT

In this paper we study radial solutions of certain two-dimensional nonlinear Schrödinger equation with harmonic potential, which is supercritical with respect to the initial data. By combining the nonlinear smoothing effect of Schr ödinger equation with Lp estimates of Laguerre functions, we are able to prove an almost sure global well-posedness result and the invariance of the Gibbs measure. We also discuss an application to the NLS equation without harmonic potential.

研究の動機と目的

• 調和ポテンシャルを伴う非線形シュレーディンガー方程式について、1次元から2次元への確率的適定性結果の拡張を目的とする。
• 超臨界正則性空間における回転対称初期データに対して、2次元NLSのギブズ測度の構築と不変性の証明を目的とする。
• 鏡像変換を用いて、調和ポテンシャルなしのNLSに対して、回転対称性と$p \geq 3$ が奇数の条件下で、ほとんど確実な大域的適定性と散乱を確立する。
• 正則性が$\cap_{\delta>0}\mathcal{H}^{-\delta}$に属する低正則性初期データの課題を解決する。ここでは、決定論的適定性が成立しない。

提案手法

• 低正則性初期データを扱い、非線形相互作用を制御するために$\mathcal{X}^{\sigma,b}$空間の使用。
• シュレーディンガー方程式の非線形スムージング効果を応用し、決定論的期待を超える正則性を獲得する。
• 確率的初期データのスペクトル射影を制御するために、ラゲール関数の$L^p$推定値の使用。
• 非線形性を管理するために、$p$ が奇数整数であるという仮定の下での多変数固有関数推定値の使用。
• 鏡像変換を用いて、調和振動子方程式 (1.1) の結果を標準NLS (1.2) に移行する。
• 確率的解析として、$\cap_{\delta>0}\mathcal{H}^{-\delta}$に台を持つガウス測度を用い、ほとんど確実に低正則性を有する初期データを定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 初期データが$L^2$正則性を下回る場合、調和ポテンシャルを伴う2次元NLSに対して、ほとんど確実な大域的適定性を確立できるか？
• RQ2 調和ポテンシャルを伴う2次元NLSのギブズ測度が、超臨界空間における回転対称初期データに対して、フロー下でも不変のままであるか？
• RQ3 鏡像変換を用いて、調和振動子NLSから標準NLSへの確率的適定性結果を2次元で移行できるか？
• RQ4 ギブズ測度の台に属する初期データの典型的な正則性は何か？また、$\mathcal{H}^{-\delta}$空間で特徴づけられるか？
• RQ5 非線形スムージング効果は、低正則性領域における決定論的適定性の失敗をどのように補うか？

主な発見

• $p \geq 3$ が奇数整数であるとき、調和ポテンシャルを伴う非焦点型2次元NLSと回転対称初期データに対して、ほとんど確実な大域的適定性が確立された。
• 調和ポテンシャルを伴う2次元NLSのギブズ測度は、初期データが$\cap_{\delta>0}\mathcal{H}^{-\delta}$に属するにもかかわらず、フロー下で不変である。
• 調和ポテンシャルなしの標準2次元NLSに対しては、鏡像変換と調和振動子系の結果を用いて、$p \geq 3$ が奇数の条件下で、ほとんど確実な大域的適定性と散乱が証明された。
• ガウス測度の台に属する典型的な要素は$\cap_{\delta>0}\mathcal{H}^{-\delta}$に属するが、$L^2$には属さない。また、$\sigma \geq \frac{1}{2}$ のとき、$\mathbf{H}^{\sigma/2}f(\omega)$ はほとんど確実に局所可積分関数ではない。
• シュレーディンガー方程式の非線形スムージング効果は、標準ストリッカーツ推定が失敗する領域（特に$p \to \infty$のとき$\sigma_{c} \to 1$）において、局所的適定性を達成するための重要なツールである。
• 証明は、多変数固有関数推定値とラゲール関数の$L^p$有界性に依存しており、これらは$\mathcal{X}^{\sigma,b}$フレームワーク内での確率的初期データの制御に不可欠である。