[論文レビュー] Two-dimensional parallel transport : combinatorics and functoriality

Romain Attal|ArXiv.org|May 31, 2001

Black Holes and Theoretical Physics被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、三角形分割された曲面上の辺パスの単体的群ガロア圏上に、ファイバードカテゴリとスイーピング関手を用いた2次元平行移動の組合せ的枠組みを導入する。1次元のホロノミーを表面へ一般化するため、パスのホモトピーに沿ったデータの輸送を定義する関手を導入し、非可換な平行移動の関手的拡張を提供する。これはゲージ理論やストリング理論への応用が期待される。

ABSTRACT

We extend the usual notion of parallel transport along a path to triangulated surfaces. A homotopy of paths is lifted into a fibered category with connection and this defines a functor between the fibers above the boundary paths. These "sweeping functors" transport fiber bundles with connection along a surface whereas usual connections transport a group element along a path. We show that to get rid of the parametrization, we must use Abelian degrees of freedom. In the general, non-Abelian case, we conjecture that the smooth limit of this construction provides us with representations of the group of diffeomorphisms of the swept surface. Applications to gauge theories are proposed.

研究の動機と目的

• 1次元の平行移動の概念を、非可換な設定において、パスから三角形分割された表面へと拡張すること。
• 単体的構造とファイバードカテゴリを用いた、2次元平行移動の組合せ的かつ関手的な枠組みを定義すること。
• アーベル化問題に対処し、微分同相群がスイーピング関手の空間に与える表現を探索すること。
• 高次元ゲージ理論および幾何学的量子化のための圏論的基盤を確立すること。
• 離散的な幾何的構造とゲージ理論・トポロジカル量子場理論における滑らかな極限との間の関係を確立すること。

提案手法

• 対象が辺パス、射がそれらの間の単体的ホモトピーである単体的群ガロア圏 $\widehat{\Pi}$ を構成する。
• $\widehat{\Pi}$ 上のファイバードカテゴリを定義し、各パスに対して、そのパスに制限された群ガロア圏のスタックのセクションのカテゴリを関連付ける。
• 2つの辺パス間のホモトピー $\Gamma$ に関連するファイバーカテゴリ間の関手として、スイーピング関手 $S_\Gamma$ を定義する。
• $\Pi$（1次元スケルトン）から $G$-トロスルの群ガロア圏 $G_1$ への関手を構成し、接続付きの離散的 $G$-バンドルをモデル化する。
• ホモトピーの合成におけるスイーピング関手の整合性を保証するために、2-圏の貼り合わせ定理を適用する。
• スイーピング関手の滑らかな極限を分析し、その表面の微分同相写像による変換を予想する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1次元のパスに沿った平行移動を、表面に沿った2次元の平行移動へと一般化する方法は何か？
• RQ2 表面を越えて幾何的およびゲージ理論的データを輸送するのに対し、最も適切な圏的構造は何か？
• RQ3 スイーピング関手は、輸送される表面の微分同相写像に対してどのように振る舞い、微分同相群の表現を生じるか？
• RQ4 非可換2-接続（gerbes）とファイバードカテゴリは、2次元平行移動を定式化する上で果たす役割は何か？
• RQ5 アーベル化問題は、スイーピング関手の構造と不変性にどのように影響を与えるか？

主な発見

• 本稿は、辺パスの群ガロア圏 $\widehat{\Pi}$ 上にファイバードカテゴリを構成し、表面に基づく輸送の圏論的記述を可能にした。
• スイーピング関手 $S_\Gamma$ は、パスのホモトピーに沿ってデータを輸送するファイバーカテゴリ間の関手として定義され、ホロノミーを表面へ一般化する。
• 貼り合わせ定理により、スイーピング関手がホモトピーの合成に関して整合的であることが示され、2-圏的枠組みにおける整合性が保証された。
• スイーピング関手の滑らかな極限は、$\mathrm{Diff}(\Sigma)$ の表現を担うと予想されるが、この作用に関して不変ではない。
• 本手法は、非可換2-接続の離散的で組合せ的なモデルを提供し、高次ゲージ理論のための関手的言語を提供する。
• この枠組みは、幾何的および集合論的構造の離散化から自然に生じるため、トポロジカル量子場理論および双対性と深い関係があると示唆される。