[論文レビュー] Two-dimensional Quantum Gravity

Juri Rolf|ArXiv.org|Oct 5, 1998

Quantum Mechanics and Applications被引用数 9

ひとこと要約

本博士論文は、連続的 formalism と格子離散化手法を用いて、2次元量子重力の自己相似幾何学を調査する。動的三角形分割が連続的結果を的確に再現するのに対し、レッジ計算は意味のある連続的極限に到達できず、量子重力への応用における根本的な限界を示している。

ABSTRACT

This Ph.D. thesis pursues two goals: The study of the geometrical structure of two-dimensional quantum gravity and in particular its fractal nature. To address these questions we review the continuum formalism of quantum gravity with special focus on the scaling properties of the theory. We discuss several concepts of fractal dimensions which characterize the extrinsic and intrinsic geometry of quantum gravity. This work is partly based on work done in collaboration with Jan Ambjørn, Dimitrij Boulatov, Jakob L. Nielsen and Yoshiyuki Watabiki (1997). The other goal is the discussion of the discretization of quantum gravity and to address the so called quantum failure of Regge calculus. We review dynamical triangulations and show that it agrees with the continuum theory in two dimensions. Then we discuss Regge calculus and prove that a continuum limit cannot be taken in a sensible way and that it does not reproduce continuum results. This work is partly based on work done in collaboration with Jan Ambjørn, Jakob L. Nielsen and George Savvidy (1997).

研究の動機と目的

• 2次元量子重力の自己相似的性質およびその幾何学的構造を理解すること。
• 量子重力におけるスケーリング性質および自己相似次元（内挿的および外挿的）を分析すること。
• 特に動的三角形分割とレッジ計算を含む離散化手法の、量子重力への妥当性を評価すること。
• レッジ計算が一貫した連続的極限に到達できないことの証明を通じて、その『量子的失敗』を解明すること。
• 2次元における格子的手法と連続的理論を比較し、動的三角形分割による整合性を確認すること。

提案手法

• スケーリング行動と自己相似幾何学に重点を置いた、量子重力の連続的 formalism のレビュー。
• 自己相似次元の概念を応用し、量子時空幾何学を特徴付けるために内挿的および外挿的測定を区別すること。
• 量子重力の非摂動的正則化手法として、動的三角形分割の実装。
• 連続的結果を再現できないレッジ計算の失敗に注目し、量子重力の文脈でレッジ計算を分析すること。
• 解析的および数値的手法を用いて、格子モデルと連続的予測を比較すること。
• Ambjørn, Boulatov, Nielsen, Savvidy, Watabiki との共同作業を活用し、結果の妥当性を検証すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元量子重力の自己相似的構造は何か？ そして内挿的次元と外挿的次元はどのように異なるか？
• RQ2 動的三角形分割は、2次元量子重力の連続的結果を再現できるか？
• RQ3 なぜレッジ計算は、量子重力において一貫した連続的極限に到達できないのか？
• RQ4 2次元モデルにおける量子幾何学のスケーリング性質はどのように現れるか？
• RQ5 格子離散化スキームは、連続的理論の物理的内容をどの程度保っているか？

主な発見

• 動的三角形分割は、2次元量子重力の連続的結果を的確に再現しており、非摂動的アプローチとしての有効性が確認された。
• レッジ計算は意味のある連続的極限に到達できず、『量子的失敗』を示しており、量子重力への応用は不可能である。
• 自己相似次元（内挿的および外挿的）は、2次元重力における量子時空幾何学を強固に特徴付ける。
• 理論のスケーリング性質は、連続的および動的三角形分割の両フレームワークで一貫して記述される。
• 共同作業により、動的三角形分割の連続的極限が既知の連続的結果と一致することが確認された。
• レッジ計算の失敗は解析的に証明され、正しい量子幾何学を再現できないことが示された。