[論文レビュー] Two-dimensional ruin probability for subexponential claim size

Sergey Foss, Dmitry Korshunov+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 4, 2017

Probability and Risk Models参考文献 16被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、2つの保険会社が損害および保険料を割合に従って共有する、副指数的損害額を有するリスクモデルにおける2次元 ruin 確率の一様漸近近似を確立する。再生理論および長尾的・副指数的分布の性質を用いて、多変量正則変動を仮定しない一般な条件下で、初期準備金が大きくなる際の、同時 ruin 確率および周辺 ruin 確率の正確な漸近的表現が導出される。

ABSTRACT

We analyse the asymptotics of ruin probabilities of two insurance companies (or two branches of the same company) that divide between them both claims and premia in some specified proportions when the initial reserves of both companies tend to infinity and generic claim size is subexponential.

研究の動機と目的

• 副指数的損害額を有する2次元リスクモデルにおける ruin 確率の漸近的挙動を分析すること。
• 多変量正則変動を越えて、パレート分布、対数正規分布、ワイブル分布を含むより広いクラスの副指数的分布へ既存の結果を拡張すること。
• 初期準備金が無限大に近づく際の、両方の会社が ruin に陥る（同時 ruin）および少なくとも1つが ruin に陥る（周辺 ruin）の両方の ruin 確率に対する一様漸近近似を導出すること。
• 2次元解析をn次元に拡張することで、複数の保険会社に適用可能な一般枠組みを提供すること。
• 固定時間ホライズンではなく停止時刻における同様の漸近的性質が成り立つかどうかという未解決の問題に取り組むこと。

提案手法

• モデルは、再生入力を持つ2次元リスク過程として定式化され、損害および保険料が2つの会社間で割合に従って共有される。
• 分析は、正則変動および長尾的分布を含む強副指数的分布クラスに依拠し、制限的な多変量正則変動仮定を回避する。
• 主な道具は再生理論、再生過程における大数の法則、および尾確率を含む積分の漸近的同等性である。
• 著者らは、2次元問題を時間に依存する境界を持つ1次元リスク過程に変換することで、最初の通過時刻に関する既知の結果への適用を可能にする。
• ジェンセンの不等式および凹性の議論を用いて、尾確率の期待積分の上限を導出する。
• 証明技法は、長尾的性および副指数的性を活用して、離散的および連続的積分近似の漸近的同等性を正当化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 初期準備金が大きくなり、損害額が副指数的である場合に、少なくとも1つの保険会社が ruin に陥る確率の漸近的挙動は何か？
• RQ2 同じ条件下で、両方の会社が同時に ruin に陥る確率（同時 ruin）はどのように漸近的に振る舞うか？
• RQ3 固定時間ホライズンから停止時刻への漸近近似を拡張することは可能か？
• RQ4 フィルトレーションに従って生成されるすべての停止時刻に関して、近似が一様に成り立つか？
• RQ5 2次元解析を2つ以上の保険会社を含むモデルに一般化できるか？

主な発見

• 周辺 ruin 確率（すなわち、少なくとも1つの会社が ruin に陥る確率）は、2つの資本過程の最小値で重み付けられた、損害額の尾分布の時間積分の期待値と漸近的に同等である。
• 同時 ruin 確率（両方の会社が同時に ruin に陥る確率）は、2つの資本過程の最大値で重み付けられた、尾分布の時間積分の期待値と漸近的に同等である。
• 漸近近似は、すべての初期準備金が無限大に近づく場合に一様に成り立ち、多変量正則変動を仮定しない一般の強副指数的分布に対しても有効である。
• 1次元還元の一般化と区分線形境界の使用により、n個の保険会社への結果の拡張がなされた。
• 長尾的性および再生理論を用いて、離散的および連続的積分形の漸近的同等性を厳密に正当化した。
• 未解決の予想が提示された：時間ホライズンが停止時刻に置き換えられても、同様の漸近的形が成り立つとされ、近似の固定ホライズンを超えた頑健性が示唆される。