[論文レビュー] Two dimensional supersonic solutions for the steady Euler-Poisson system in a bounded domain

Myoungjean Bae, Ben Duan+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 5, 2016

Navier-Stokes equation solutions参考文献 32被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、入口で圧力、流入角、法線方向の電場を規定することにより、有界な長方形領域内の定常Euler-Poisson系に対する2次元超音速流れの一意的存在および安定性を確立する。Helmholtz分解と新規の乗数技術を用いて、連立する双曲型-放物型系の適切性を証明し、解の安定性に不可欠なエネルギー推定を得ている。

ABSTRACT

We establish the unique existence and stability of supersonic flow for steady Euler-Poisson system in a two dimensional rectangular domain when prescribing pressure, incoming flow angles, and normal electric field at the entrance. With the aid of Helmholtz decomposition for the velocity field, the supersonic flows of the Euler-Poisson system are obtained as solutions to a nonlinear system consisting of a second order hyperbolic-elliptic coupled system and several transport equations. The new feature of this work is that we achieve the well-posedness of a boundary value problem associated with a coupled system consisting of two second order quasilinear equations, where one equation is hyperbolic and the other is elliptic, via a deliberate choice of multiplier to gain energy estimate.

研究の動機と目的

• 有界な2次元領域における定常Euler-Poisson系に従う超音速流れの適切性を確立すること。
• 1階双曲型および1階放物型の非線形2階偏微分方程式の連立系に対する境界値問題を分析すること。
• 意図的な乗数の選択により導かれるエネルギー推定を通じて、解の安定性を保証すること。
• Euler-Poisson系の適用範囲を、物理的に妥当な境界条件を有する超音速流れへと拡張すること。

提案手法

• 速度場を無渇および無発散成分に分解するためのHelmholtz分解を用いる。
• Euler-Poisson系を、2階の双曲型-放物型連立系と輸送方程式を含む非線形系に簡略化する。
• 連立する双曲型-放物型系のエネルギー推定を導出するための特化した乗数を導入する。
• 乗数法を用いて、混合型PDEの存在下でも解の成長を制御し、安定性を保証する。
• エネルギー推定に基づく固定点定理を用いて、存在および一意性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有界な2次元領域における定常Euler-Poisson系に対して、一意的かつ安定な超音速解を確立できるか？
• RQ2 双曲型-放物型連立系を含む境界値問題をどのようにして適切に定式化できるか？
• RQ3 混合型非線形系のエネルギー推定を導出する際に、乗数の選択が果たす役割は何か？
• RQ4 Helmholtz分解は、Euler-Poisson系の解析を簡略化するために、速度場を効果的に分離できるか？

主な発見

• 本稿は、境界条件を規定した有界な2次元長方形領域における定常Euler-Poisson系に対して、超音速解の一意的存在を証明している。
• 慎重に選択された乗数を用いて導出されたエネルギー推定を通じて、解の安定性が確立されている。
• 方程式の型が混合的であるにもかかわらず、連立する双曲型-放物型系の適切性が達成されている。
• Helmholtz分解の使用により、輸送方程式と2階連立系を含む解ける形へのシステムの簡略化が可能になった。