[論文レビュー] Two examples of surfaces with normal crossing singularities

Janós Kollár|ArXiv.org|May 7, 2007

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 2被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、正則線 bundle に病理的挙動を示す、正規交叉特異点をもつ2つの既約かつ射影的曲面を構成する。1つは canonical ring が有限生成でないものであり、もう1つは正規化への pullback が ample であるにもかかわらず、その canonical bundle が ample でないものである。これらの例は、特異曲面上の多様体システムの挙動に関して長年の未解決問題を解決する。

ABSTRACT

This note gives two examples of surfaces with normal crossing singularities. In the first example the canonical ring is not finitely generated. In the second, the canonical line bundle is not ample but its pull back to the normalization is ample. The latter answers in the negative a problem left unresolved in [EGA,III.2.6.2] and raised again by Viehweg.

研究の動機と目的

• 正規交叉特異点をもつ、期待外れの canonical line bundle を示す具体的な例を構成すること。
• EGA で残されたままであり、Viehweg によって提起された、特異曲面上の canonical bundle の ampleness に関する未解決問題を解決すること。
• 特異曲面の canonical ring が、曲面が射影的かつ一般型であっても、有限生成でないことがあることを示すこと。
• 正規化への pullback が ample であっても、特異曲面上の canonical bundle が ample でないことがあることを説明すること。
• 最小モデルプログラムにおける半対数正則特異点曲面の枠組みで、canonical ring が flip に対して不変でないことを強調すること。

提案手法

• 有限被覆を用いて曲面 $S_1$ を曲線に沿って貼り合わせることで、最初の例 $T_1$ を構成し、2つの三重点をもつ曲面を得る。
• 正規化 $\bar{S}$ と双対層関係 $n^*\rho_S \to \rho_{\bar{S}}(\bar{D})$ を用いて、多様体正則切断を計算する。
• 貼り合わせ基準の適用：$S$ 上の因子 $H$ が貼り合わせ曲線と横断的交わっており、かつ貼り合わせ写像に関して不変であれば、その像は商曲面上で ample である。
• 正規化上での切断が、特異集合上で $(-1)^m\tau$-不変でなければならないという条件により、$\rho_S^{[m]}$ の切断を計算する。
• 貼り合わせが、異なる枝間で相殺できない極を引き起こす場合、canonical ring が有限生成でなくなるという事実を利用する。
• 2番目の例 $T_2$ については、曲線の積の商を、対合を用いて構成し、24個のノードをもつ曲面を得る。正規化上の局所計算により、canonical bundle の挙動を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般型で、正規交叉特異点をもつ射影的かつ既約曲面で、canonical ring が有限生成でないものがあるだろうか？
• RQ2 正規交叉特異点をもつ特異曲面の canonical bundle が、正規化への pullback が ample であるならば、必然的に ample であるだろうか？
• RQ3 最小モデルプログラムが、曲面族の特異ファイバーにおける canonical ring に与える影響は何か？
• RQ4 特異点が正則でない場合、flip に対してどの程度まで多様体システムが保存されるのか？
• RQ5 曲線の貼り合わせにおいて、双対層の切断が特異曲面に下がるための条件は何か？

主な発見

• 一般型で、正規交叉特異点をもつ既約かつ射影的曲面 $T_1$ が存在し、その canonical ring は有限生成でない。
• $T_1$ は、有限被覆を用いて曲面 $S_1$ を曲線に沿って貼り合わせることで構成され、貼り合わせた枝間での極の位数の不一致が、canonical ring が有限生成でなくなる原因となっている。
• canonical bundle $\rho_{T_1}$ は ample でないが、正規化への pullback は ample であるため、特異化写像の下で ampleness が保存されないことが示された。
• 2番目の例 $T_2$ については、canonical bundle $\rho_{T_2}$ は ample でないが、正規化への pullback は ample であるため、EGA や Viehweg が提起した疑問が解決された。
• 正規化上の局所計算により、$\rho_{T_2}^{2m}$ のすべての切断が、二重曲線 $D$ 上の $\rho_D^{2m}$ に制限され、その結果、消えることが強制され、非 ample であることが示された。
• $T_1$ は、適切な因子 $H$ について、横断的交わりと不変性の条件が満たされており、貼り合わせが ample を保存するため、射影的である。