[論文レビュー] Two hierarchies of spline interpolations. Practical algorithms for multivariate higher order splines

Cristian C. Lalescu|ArXiv.org|May 21, 2009

Advanced Numerical Analysis Techniques参考文献 3被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、テイラー展開および中心差分に基づく多項式基底関数を用いて、正方形の矩形グリッド上に、2つの階層の多次元高次スプライン補間——ヘルミートスプラインとグリッドスプライン——を提示する。グリッドスプラインの実装のための明示的アルゴリズムを提供し、セル間で微分の連続性を保証する。十分に滑らかな関数に対して、滑らかな近似への収束を示す。

ABSTRACT

A systematic construction of higher order splines using two hierarchies of polynomials is presented. Explicit instructions on how to implement one of these hierarchies are given. The results are limited to interpolations on regular, rectangular grids, but an approach to other types of grids is also discussed.

研究の動機と目的

• 正方形の矩形グリッド上での高次スプライン補間のための体系的で実用的なアルゴリズムの開発。
• 微分をすべて格納する高コストを回避するため、グリッドノードでの関数値のみが既知の関数の滑らかな補間関数の構築。
• 多項式基底関数を用いて、グリッドセル間で指定された次数までの微分の連続性を保証すること。
• 局所的な計算と最小限のプロセッサ間通信により、並列処理を効率的に行えるようにすること。
• 滑らかさを保ちつつ、非長方形グリッドへのアプローチの一般化。

提案手法

• 2つの階層を用いる：関数値とグリッドノードでの微分値に基づくヘルミートスプラインと、中心差分を用いて関数値のみに基づくグリッドスプライン。
• グリッド点における特定の微分条件を満たす多項式基底関数 α(n,l)i(x) を採用し、Cm 連続性を保証する。
• 二項係数および降べき階乗を用いて、基底多項式 α(n,l)0(x) および α(n,l)1(x) の明示的閉形式表現を導出する。
• スプライン評価を関数値およびその微分の線形結合として再定式化し、大規模な線形方程式系の解法を回避する効率的な計算を可能にする。
• 1次元基底関数のテンソル積を用いてD次元グリッドに一般化し、ドメイン分割を用いて並列計算に適用する。
• 中心差分を用いて微分を近似することで、メモリ要件を削減し、セル境界で微分の連続性を確保する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多次元関数の正方形グリッド上での高次スプライン補間を体系的に構築する方法は何か？
• RQ2 メモリ制約がある中で、すべての微分を格納しないで高次スプラインを計算する最適な方法は何か？
• RQ3 スプライン評価が関数値およびその有限差分のみに依存するような多項式基底を導出可能か？
• RQ4 得られたスプライン階層が、グリッドセル間でCm 連続性を保ちながら高次精度を維持できるか？
• RQ5 関数の有限フーリエ表現を持つ場合を含め、スプライン近似の収束挙動はどのように変化するか？

主な発見

• グリッドスプライン階層は、中心差分を用いて微分を近似することで、すべての微分を明示的に格納する必要なく、セル間でCm 連続性を達成する。
• 二項係数および x と (1−x) の累乗を含む、基底多項式 α(n,l)0(x) および α(n,l)1(x) の明示的閉形式表現が導出された。
• 基底多項式は x=0 および x=1 で必要な微分条件を満たし、スプラインが関数値および m=(n−1)/2 次までの微分まで一致することを保証する。
• 誤差 ||s(n+1)−s(n)|| は n の増加に従い減少し、十分に滑らかな関数に対してはゼロに収束する。これは真の関数への収束を示している。
• プロセッサごとに隣接する2つのドメイン間でのみ通信を制限することで、並列処理が効率的に行える。インデックス指定にはモジュロ演算が用いられる。
• 滑らかさが共有ノードで一貫する限り、アプローチは非長方形グリッドへ一般化可能であり、滑らかさが保たれる。