[論文レビュー] Two infinite classes of rotation symmetric bent functions with simple representation

Chunming Tang, Yanfeng Qi+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 23, 2015

Coding theory and cryptography参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、$\mathbb{F}_2^n$ 上の回転対称湾曲関数の2つの無限クラスを提示する。$n = 2m$ として、2次項の対称和と回転対称多項式 $\gamma$ を用いて構成される。最初のクラスは代数次数が2から $m$ までであり、2番目のクラスは追加の3次項を含み、次数は3から $m$ までである。両クラスとも、アフィン変換によるマイアラナ＝マファーランドクラスの関数と同値であることが証明されており、湾曲性が保証されている。

ABSTRACT

In the literature, few $n$-variable rotation symmetric bent functions have been constructed. In this paper, we present two infinite classes of rotation symmetric bent functions on $\mathbb{F}_2^{n}$ of the two forms: { m (i)} $f(x)=\sum_{i=0}^{m-1}x_ix_{i+m} + γ(x_0+x_m,\cdots, x_{m-1}+x_{2m-1})$, { m (ii)} $f_t(x)= \sum_{i=0}^{n-1}(x_ix_{i+t}x_{i+m} +x_{i}x_{i+t})+ \sum_{i=0}^{m-1}x_ix_{i+m}+ γ(x_0+x_m,\cdots, x_{m-1}+x_{2m-1})$, oindent where $n=2m$, $γ(X_0,X_1,\cdots, X_{m-1})$ is any rotation symmetric polynomial, and $m/gcd(m,t)$ is odd. The class (i) of rotation symmetric bent functions has algebraic degree ranging from 2 to $m$ and the other class (ii) has algebraic degree ranging from 3 to $m$.

研究の動機と目的

• 回転対称湾曲関数のうち代数次数が高いものが少ないという問題に対処すること。
• 計算的に効率が良く、暗号的応用に適した、回転対称湾曲関数の新しい無限族を構築すること。
• 既存の構成を拡張し、回転対称多項式 $\gamma$ を組み込み、$m$ と $t$ に関する特定の条件下で湾曲性を保証すること。
• 構築された関数が完成形マイアラナ＝マファーランドクラスに属することを示し、理論的堅牢性を保証すること。

提案手法

• 関数 $f(x) = \sum_{i=0}^{m-1} x_i x_{i+m} + \gamma(x_0+x_m, \dots, x_{m-1}+x_{2m-1})$ の形で湾曲関数を構築し、ここで $\gamma$ は任意の回転対称多項式である。
• 構成を $f_t(x) = \sum_{i=0}^{n-1}(x_i x_{i+t} x_{i+m} + x_i x_{i+t}) + \sum_{i=0}^{m-1} x_i x_{i+m} + \gamma(\dots)$ に拡張し、$n=2m$ かつ $m/\gcd(m,t)$ が奇数である条件を満たす。
• マイアラナ＝マファーランドクラスの関数を回転対称形式に写像するアフィン変換を用いる。
• 写像 $a \mapsto (\pi_0(a), \dots, \pi_{m-1}(a))$ の置換性を用い、ここで $\pi_i(a) = a_i a_{i+t} + a_{i+t} + a_{i+m-t}$ であり、$m/\gcd(m,t)$ が奇数のとき、この写像が全単射であることを証明する。
• 代数的変形と恒等式の代入を用いて、変換後の関数が湾曲性を保つことを確認する。
• 回転対称湾曲関数の双対関数もまた回転対称であるという事実を活用し、構成における対称性を保持する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 制御可能な代数次数を持つ、回転対称湾曲関数の新しい無限クラスを体系的につくることは可能か？
• RQ2 $m$ と $t$ にどのような条件を課すと、構築された関数が湾曲性と回転対称性を保つのか？
• RQ3 構築された湾曲関数の代数次数は、$\gamma$ の選択にどのように依存するか？
• RQ4 構築された関数は、既知のマイアラナ＝マファーランドクラスの湾曲関数と同値であるか？
• RQ5 この構成を、湾曲性を保ったまま、より高次回転対称多項式を含む形に一般化できるか？

主な発見

• 回転対称湾曲関数の最初のクラスは、$\gamma$ の次数に応じて代数次数が2から $m$ の範囲で変動する。
• 追加の3次項を含む2番目のクラスは、代数次数が3から $m$ の範囲であり、$\gamma$ に依存して決定される。
• マイアラナ＝マファーランドクラスの関数を回転対称形式に写像するアフィン変換を用いて、構成が湾曲であることが証明されている。
• 関数は完成形マイアラナ＝マファーランドクラスに属しており、理論的妥当性と暗号的関連性が保証されている。
• $m/\gcd(m,t)$ が奇数であるという条件は、湾曲性の証明に根拠を置く置換性の性質にとって不可欠である。
• 構成法は体系的かつ一般的であり、奇数比条件を満たす任意の $m$ に対して、無限族の湾曲関数を生成可能である。