[論文レビュー] Two-Level System and Some Approximate Solutions in the Strong Coupling Regime

Kazuyuki Fujii|ArXiv.org|Jan 27, 2003

Laser-Matter Interactions and Applications参考文献 13被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、回転波近似（RWA）を用いない、時間周期的な外部場と強く結合する2準位系の解を近似するための新規な摂動的手法を提案する。ハミルトニアンを時間依存相互作用が対角化された基底に変換し、定数の変化の方法を適用することで、Bloch-Siegert的振動を含む非RWA動的を捉える近似波動関数を導出する。これは強い結合領域（g ≫ Δ）で有効である。

ABSTRACT

In this paper we treat the 2--level system interacting with external fields without the rotating wave approximation and construct some approximate solutions in the strong coupling regime.

研究の動機と目的

• 回転波近似（RWA）が物理的動的を正確に記述できない強い結合領域（g ≫ Δ）におけるRWAの限界を克服すること。
• 時間周期的外部場（例：放射場）に結合する2準位系に対して、RWAに依存しない近似解を構築すること。
• ユニタリ変換と定数の変化に基づく体系的摂動的手法を構築し、標準的なRWAフレームワークを超えて適用可能なものとすること。
• Shahriarらの手法と比較して、Bloch-Siegertシフトのような非RWA効果を捉えることのできるより一般で物理的に意味のある解構造を提供すること。

提案手法

• 運動項と相互作用項を再定義することでハミルトニアンを変換し、$ H_0 = g\cos(\omega t)\sigma_1 $ を定義する。これはウォルシュ＝ハダマール基底で正確に解ける。
• ウォルシュ＝ハダマール行列 $ W $ を用いて $ \sigma_1 $ を対角化し、$ \sigma_1 $ の固有値 $ \pm1 $ を持つ基底に写像する。この基底で状態 $ |1\rangle $、$ |-1\rangle $ をその固有状態とする。
• $ H_0 $ に対するシュレーディンガー方程式を正確に解き、$ \exp\left(\pm i\frac{g}{\omega}\sin(\omega t)\right) $ を含む時間発展演算子を得る。これは時間依存相互作用下での自由発展演算子を表す。
• 定数の変化の方法を適用する：$ H_0 $ の解を全シュレーディンガー方程式 $ i\frac{d}{dt}\psi = (H_0 - \frac{\Delta}{2}\sigma_3)\psi $ に代入し、時間依存振幅に関する積分方程式系を導出する。
• $ \phi = W\psi_0 $ を用いて、結果の式を $ \sigma_+ $、$ \sigma_- $ 基底に変換する。これにより、$ \exp(\pm 2i\frac{g}{\omega}\sin(\omega s)) $ を含む連立積分方程式系に帰着する。
• 積分方程式を反復的に解くことで、波動関数の最低次の近似解を導出し、$ \alpha $、$ \beta $、および振動関数の時間積分を含む表現を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 回転波近似が失敗する強い結合領域（g ≫ Δ）において、2準位系の近似解をどのように構築できるか？
• RQ2 特に時間周期的外部場が存在する状況において、回転波近似なしでの時間発展演算の構造はどのようなものか？
• RQ3 Bloch-Siegert振動のような非RWA動的を捉える体系的摂動手法を開発できるか？
• RQ4 ウォルシュ＝ハダマール基底などの基底の選択が、時間依存ハミルトニアンの取り扱いをどのように簡素化するか？
• RQ5 導出された近似解は、多準位系やより複雑なモデルへの一般化にどのような意味を持つのか？

主な発見

• 波動関数の近似解は $ \psi(t) = W \left[ \exp\left(-i\frac{g}{\omega}\sin(\omega t)\right) |0\rangle\langle 0| + \exp\left(i\frac{g}{\omega}\sin(\omega t)\right) |1\rangle\langle 1| \right] \phi(t) $ で与えられ、$ \phi(t) $ は積分方程式によって定まる。
• Δの最低次の摂動で、時間依存振幅は $ a(t) = \alpha + i\frac{\Delta}{2}\beta \int_0^t \exp\left(2i\frac{g}{\omega}\sin(\omega s)\right) ds $ および $ b(t) = \beta + i\frac{\Delta}{2}\alpha \int_0^t \exp\left(-2i\frac{g}{\omega}\sin(\omega s)\right) ds $ で与えられ、$ |\alpha|^2 + |\beta|^2 = 1 $ を満たす。
• 対称初期状態 $ \alpha = \beta = e^{i\theta}/\sqrt{2} $ の場合、上準位の状態に存在する確率は $ |\psi_1(t)|^2 = \frac{1}{2}\left(1 - \cos\left(\frac{2g}{\omega}\sin(\omega t)\right)\right) $ となり、時間依存位相によって調制された振動的動的を示す。
• この手法は、相互作用ハミルトニアンの振動的項が保存され、動的の寄与を果たすため、非RWA効果（Bloch-Siegertシフト）を正確に捉えている。
• Shahriar らの手法よりも一般性が高く、特定の初期状態や共鳴条件の仮定に依存しない。高次準位系への拡張も可能である。
• このアプローチは体系的であり、高次の反復も可能で、量子光学や量子情報におけるより複雑なモデルの近似の基盤を提供する。