[論文レビュー] Two minimization problems on non-scattering solutions to mass-subcritical nonlinear Schrödinger equation

Satoshi Masaki|arXiv (Cornell University)|May 30, 2016

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 22被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、質量劣臨界非線形シュレーディンガー方程式に対する非散乱解の2つの最小化問題を導入し、両ケースにおいて最小化子の存在を確立する。主な貢献は、フーリエ変換を用いた一般化モリーサスぺースにおける解析を通じて、爆発プロファイルサイズ問題の最小化子が対称性に関してほぼ周期的であることを証明することにある。

ABSTRACT

In this paper, we introduce two minimization problems on non-scattering solutions to nonlinear Schrödinger equation. One gives us a sharp scattering criterion, the other is concerned with minimal size of blowup profiles. We first reformulate several previous results in terms of these two minimizations. Then, the main result of the paper is existence of minimizers to the both minimization problems for mass-subcritical nonlinear Schrödinger equations. To consider the latter minimization, we consider the equation in a Fourier transform of generalized Morrey space. It turns out that the minimizer to the latter problem possesses a compactness property, which is so-called almost periodicity modulo symmetry.

研究の動機と目的

• 質量劣臨界非線形シュレーディンガー方程式における散乱の鋭い閾値および爆発プロファイルの最小サイズを特徴付ける2つの最小化問題を定式化すること。
• 質量劣臨界領域（$\alpha < 2/d$）において、両最小化問題の最小化子の存在を確立すること。
• フーリエ変換における一般化モリーサスぺースでの方程式の解析を通じて、最小化子のコンパクト性特性を分析すること。
• 爆発プロファイル問題の最小化子が対称性に関してほぼ周期的であることを示し、重要な構造的性質を同定すること。
• 従来の散乱および爆発挙動に関する結果を、これらの最小化枠組みを用いて統一的かつ再定式化すること。

提案手法

• 2つの最小化問題を定義する：$E_1$ は非散乱解の時間に関するサイズ関数 $\ell(u(t))$ の下界、$E_2$ は $t \to T_{\max}$ のときの $\ell(u(t))$ の上極限。
• 一般化モリーサスぺース $\hat{M}^{d\alpha}_{2,r}$ におけるフーリエ変換を用いた解析により、周波数局所化ノルムの制御を可能にする。
• 時間および周波数における直交性を有するプロファイル分解技術を適用し、弱収束を抽出し、集中現象を分析する。
• ストリカルツ推定と $\hat{M}^{d\alpha}_{2,r}$ における有界性を用いて、解の生存期間およびサイズに対する一様な制御を得る。
• $\hat{M}^{d\alpha}_{2,r}$ における下付き連続性および弱-*収束を用いて、極限プロファイルのノルムに正の下界が存在することを確立する。
• その軌道がエネルギー空間で相対コンパクトであることを示すことにより、最小化子が対称性に関してほぼ周期的であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 質量劣臨界領域における非散乱解のサイズを最小化する問題（$E_1$）に対して最小化子が存在するか？
• RQ2 爆発プロファイルの最小サイズ（$E_2$）は最小化問題として特徴付けられるか？ また、最小化子は存在するか？
• RQ3 爆発プロファイル問題の最小化子がどのようなコンパクト性特性を有するか？
• RQ4 フーリエドメインにおける一般化モリーサスぺースの使用は、最小化子の構造的解析にどのように寄与するか？
• RQ5 $E_1 < E_2$ が成り立つ条件は何か？ これは非散乱解の力学にどのような意味を持つのか？

主な発見

• $\alpha < 2/d$ を満たす質量劣臨界非線形シュレーディンガー方程式に対して、$E_1$ 問題における最小化子の存在が確立された。
• $E_2$ 問題の最小化子は存在し、対称性に関してほぼ周期的であることが示され、エネルギー空間におけるその軌道が相対コンパクトであることを意味する。
• $E_2$ の最小化子は、質量およびストリカルツノルムに依存する正の定数 $\beta(m,M) > 0$ を下界として、一般化モリーサスぺース $\hat{M}^{d\alpha}_{2,r}$ で有界である。
• 最小化枠組みにより鋭い散乱基準が得られた：初期サイズ $\ell(u_0) < E_1$ ならば、解は正の時間で散乱する。
• 一部の状況では $E_2$ が $E_1$ よりも厳密に大きいことが示され、爆発プロファイルが非散乱解の最小サイズよりも大きい可能性があることを示唆する。
• フーリエ＝モリーサスぺース設定における解析により、保存量でないサイズ関数の取り扱いが可能となり、最小化アプローチの適用範囲が拡張された。