[論文レビュー] Two New Zeta Constants: Fractal String, Continued Fraction, and Hypergeometric Aspects of the Riemann Zeta Function

Stephen Crowley|arXiv (Cornell University)|Jul 4, 2012

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ひとこと要約

本稿では、超幾何表現およびリーマン・ゼータ関数の解析接続を用いて導出された2つの新しいゼータ定数、ζ^F(0) = I₀(2) − 1 および ζ^F(1) = Ei(1) − γ を紹介する。これらの値は確率論的に解釈され、それぞれ互いに素な整数の対および3つ組の逆確率として78.15%および75.88%を示し、標準的なゼータ値とは異なり、フラクタル・ストリングスおよびカオス的力学系（ガウス写像および新しく導入された「調和の歯車」写像）と関連している。

ABSTRACT

The Riemann zeta function at integer arguments can be written as an infinite sum of certain hypergeometric functions and more generally the same can be done with polylogarithms, for which several zeta functions are a special case. An analytic continuation formula for these hypergeometric functions exists and is used to derive some infinite sums which allow the zeta function at integer arguments n to be written as a weighted infinite sum of hypergeometric functions at n - 1. The form might be considered to be a shift operator for the Riemann zeta function which leads to the curious values ζF(0) = I_0(2) - 1 and ζF(1) = Ei(1) - γ which involve a Bessel function of the first kind and an exponential integral respectively and differ from the values ζ(0) = -1/2 and ζ(1) = \infty given by the usual method of continuation. Interpreting these "hypergeometrically continued" values of the zeta constants in terms of reciprocal common factor probability we have ζF(0)^-1 \sim 78.15% and ζF(1)^-1 \sim 75.88% which contrasts with the standard known values for sensible cases like ζ(2)^-1 \sim 60.79% and ζ(3)^-1 \sim 83.19%. The combinatorial definitions of the Stirling numbers of the second kind, and the 2-restricted Stirling numbers of the second kind are recalled because they appear in the differential equatlon satisfied by the hypergeometric representation of the polylogarithm. The notion of fractal strings is related to the (chaotic) Gauss map of the unit interval which arises in the study of continued fractions, and another chaotic map is also introduced called the "Harmonic sawtooth" whose Mellin transform is the (appropritately scaled) Riemann zeta function. These maps are within the family of what might be called "deterministic chaos". Some number theoretic definitions are also recalled.

研究の動機と目的

• 整数におけるリーマン・ゼータ関数の超幾何的表現を、一般化超幾何関数を用いて開発すること。
• 連接超幾何関数を用いた解析接続により、新しいゼータ関数の定義と分析を行い、s = 0およびs = 1における代替値を導出すること。
• 新しいゼータ定数を確率論的に解釈し、互いに素な整数のタプルの逆確率として解釈し、標準的なゼータ値と対比すること。
• メリン変換を介して、ゼータ関数と力学系（特にガウス写像および新しく導入された「調和の歯車」写像）を結びつけること。
• ゼータ関数、多対数関数、スターリング数、およびベッセル関数や指数積分などの特殊関数との関係を探索すること。

提案手法

• 解析接続技術を用いて、整数nにおけるリーマン・ゼータ関数を_{n+1}F_n形式の超幾何関数の重み付き無限和として表現する。
• 一般化超幾何関数の連接関係を適用し、ζ^F(n−1)からζ^F(n)への再帰関係を導出する。
• 超幾何多対数関数 Li_n^F(t) が満たす微分方程式を用いて、単位引数近傍での解析接続を可能にする。
• メリン変換がリーマン・ゼータ関数に比例する「調和の歯車」写像 w(x) を導入し、ゼータ関数と決定的カオスを結びつける。
• フロベニウス＝ペロンの移動作用素と区分的積分を用いて、ガウス写像および連分数との関係を分析する。
• 一般化ハイゼット関数およびレルヒトランスェンデントを基盤的ツールとして用い、ゼータ関数、多対数関数、超幾何的表現を統一する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 整数におけるリーマン・ゼータ関数は、無限個の超幾何関数の和として表現可能か？ もしそうならば、その関数的形は何か？
• RQ2 超幾何的続拡を用いた解析接続により、s = 0およびs = 1におけるゼータ関数の値は何か？ そして標準値とはどのように異なるか？
• RQ3 新しいゼータ定数 ζ^F(0) および ζ^F(1) は、互いに素な整数のタプルの確率とどのように関係するか？ これらの確率はどのような意味を持つのか？
• RQ4 メリン変換がリーマン・ゼータ関数と関連する力学系（例：ガウス写像や調和の歯車写像）は何か？
• RQ5 超幾何多対数関数の微分方程式において、第二種スターリング数や制限付きスターリング数といった組合せ的構造はどのように現れるか？

主な発見

• 超幾何的続拡により、ζ^F(0) = I₀(2) − 1 が得られ、ここで I₀(2) は第一種変形ベッセル関数である。これは標準的な ζ(0) = −1/2 とは異なる。
• ζ^F(1) = Ei(1) − γ であり、指数積分およびオイラー・マスカーレーニ・定数を含む。これは標準的な ζ(1) = ∞ とは対照的である。
• ζ^F(0) の逆数は約78.15%であり、この新たな続拡下で、2つのランダムに選ばれた整数が互いに素である確率として解釈される。
• ζ^F(1) の逆数は約75.88%であり、超幾何的続拡下で、3つのランダムに選ばれた整数が互いに素である確率を表す。
• 「調和の歯車」写像 w(x) が導入され、そのメリン変換がリーマン・ゼータ関数に比例する。これにより、ゼータ関数と決定的カオスが結びつけられる。
• 超幾何多対数関数 Li_n^F(t) の微分方程式が、第二種スターリング数およびその2制限版を含むことが示され、組合せ的基盤が確立された。