[論文レビュー] Two nonrelated Finsler structures on a manifold

Aly A. Tamim, Nabil L. Youssef|ArXiv.org|Aug 21, 2006

Advanced Differential Geometry Research参考文献 1被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、同一多様体上に存在する、互いに無関係な2つのFinsler構造 $L$ と $L^*$ の幾何的関係を、事前の関係を仮定せずに調査する。Cartan接続の差を表す $/pi$-テンソル場 $B$ を導入し、共通の測地線、ヤコビ場、モース指数の性質を有するための必要十分条件（特に $B(\overline{V},\overline{V})=0$）を導出する。主たる貢献は、接続の差を用いてFinsler多様体を比較する、グローバルで座標に依存しない枠組みを提供することにある。

ABSTRACT

In the present paper, we consider two different {\em Finsler} structures $L$ and $L^*$ on the same base manifold $M$, with no relation preassumed between them. \par Introducing the $π$-tensor field representing the difference between the Cartan connections associated with $L$ and $L^*$, we investigate the conditions, to be satisfied by this $π$-tensor field, for the geometric objects associated with $L$ and $L^*$ to have the same properties. Among the items investigated in the paper, we consider the properties of being a geodesic, a Jacobi field, a Berwald manifold, a locally Minkowskian manifold and a Landsberg manifold. \par It should be noticed that our approach is intrinsic, i.e., it does not make use of local coordinate techniques.

研究の動機と目的

• 同一多様体上に存在する2つのFinsler構造 $L$ と $L^*$ の幾何的関係を、事前にそれらに何ら関係がないと仮定せずに分析すること。
• 2つのFinsler多様体が測地線、ヤコビ場、共役点といった主要な幾何的性質を共有するための条件を同定すること。
• 2つの異なるFinsler構造のCartan接続を比較するための、グローバルで座標に依存しない枠組みを $\/pi$-テンソル場を用いて構築すること。

提案手法

• 同一多様体上に存在する2つのFinsler構造 $L$ と $L^*$ のCartan接続の差を表す $\/pi$-テンソル場 $B$ を導入する。
• 接続写像 $K$ と水平.lift を用いて、接続 bundle 内の曲線に沿った共変微分作用素 $D/dt$ と $D^*/dt$ を定義する。
• ヤコビ方程式と $R$, $P$, $Q$ テンソルを含む曲率恒等式を適用し、測地線のずれと共役点を比較する。
• $B$ に関する条件（例：$B(\overline{V},\overline{V})=0$）を導出し、2つの構造間でのヤコビ場とモース指数の同等性を保証する。
• 接続差の下での曲率およびねじれテンソルの振る舞いを分析することにより、特別なFinsler多様体（Berwald、局所Minkowskian、Landsberg）にこの枠組みを適用する。
• 局所座標に依存しないグローバルなテンソル技法を用い、水平・垂直分解を定義する正確な列 $0 \to \pi^{-1}(TM) \to T({\cal T}M) \to \pi^{-1}(TM) \to 0$ に依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 同一多様体上に存在する無関係な2つのFinsler構造 $L$ と $L^*$ が同じ測地線を持つのはどのような条件下か？
• RQ2 2つのFinsler多様体が同じヤコビ場と共役点を持つのはいつか？
• RQ3 $\/pi$-テンソル場 $B$ に対して、2つのFinsler多様体が測地線に沿って同じモース指数を持つための必要十分条件は何か？
• RQ4 $(M,L)$ がBerwald（ respectively 局所Minkowskian、Landsberg）多様体であるとき、$(M,L^*)$ がBerwald（同様に局所Minkowskian、Landsberg）多様体であるのはいつか？
• RQ5 $\/pi$-テンソル場 $B$ が消えると、$L$ と $L^*$ 間の幾何的性質の同等性にどのように影響するか？

主な発見

• $B(\overline{V},\overline{V})=0$ がすべての測地線 $c$ に対して成り立つならば、2つのFinsler多様体 $(M,L)$ と $(M,L^*)$ は同じヤコビ場を持つ。
• $B(\overline{V},\overline{V})=0$ であることは、2つのFinsler多様体が測地線に沿って同じ共役点を持つことを示唆する。
• モース指数定理の結果として、$B(\overline{V},\overline{V})=0$ ならば、$(M,L)$ と $(M,L^*)$ 間で測地線のモース指数が保存される。
• $B$ が恒等的に消えるならば、$(M,L^*)$ がBerwald多様体であるための必要十分条件は、$(M,L)$ がBerwaldであるとき、すべての $\overline{X} \in \mathfrak{X}(\pi(M))$ に対して $\nabla_{\beta\overline{X}}A = 0$ が成り立つことである。
• $B$ が消えるならば、$(M,L^*)$ が局所Minkowskianであるための必要十分条件は、$(M,L)$ が局所Minkowskianであるとき、すべての $\overline{X} \in \mathfrak{X}(\pi(M))$ に対して $\nabla_{\beta\overline{X}}A = 0$ が成り立つことである。
• $B$ が消えるならば、$(M,L)$ がLandsberg多様体であることと $(M,L^*)$ がLandsberg多様体であることは同値であり、これは条件 $P(\overline{X},\overline{Y})\overline{\eta} = 0$ の同等性に起因する。