[論文レビュー] Two observations about normal functions

Christian Schnell|ArXiv.org|Apr 1, 2009

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 8被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、正規関数に関する2つの基本的結果を確立する：(1) 原始ホッジ類に関連する正規関数が代数的曲線上で消えるならば、その曲線が双対多様体の特異点集合と交わる点で特異的でなければならない；(2) 足りるほど大きな埋め込み（次数 ≥3）では、双対多様体の交差コホモロジーに、元の多様体のコホモロジーが直接和成分として含まれる。これらの結果は、正規関数の特異性理論と双対多様体の幾何学を結びつける。

ABSTRACT

Two simple observations are made: (1) If the normal function associated to a Hodge class has a zero locus of positive dimension, then it has a singularity. (2) The intersection cohomology of the dual variety contains the cohomology of the original variety, if the degree of the embedding is large.

研究の動機と目的

• 正規関数の消える点の集合とその特異性との関係を明確化すること。
• 非常に大きな埋め込みの下で、滑らかな射影多様体のコホモロジーがその双対多様体の交差コホモロジーにどのように埋め込まれるかを調査すること。
• ホッジ理論および正規関数の特異性に関する既知の結果を明確化または拡張する可能性がある、基本的だが非自明な観察を提示すること。
• 双対多様体の交差コホモロジーに、元の多様体のコホモロジーが直接和成分として含まれる条件を確立すること。

提案手法

• Lerayのスペクトル系列を用いて、ホッジ類ηを正規関数νのコホモロジー類[η]に関連付ける。
• スペクトル系列の整合性を適用し、νの零点集合内の曲線上へのηの引き戻しが、ファイバーの滑らかな部分で消えることを示す。
• Poincaré双対性と交差積を用いて、ηの滑らかな部分での消えることと、相対コホモロジー群内の類αの非自明性との関係を確立する。
• 族π: X → Pの各ファイバーの特異点集合を解析し、双対多様体X∨における層の余次元を特定する。
• DimcaとSaitoの結果を応用し、d ≥ 3のとき、写像φ: Xsing → X∨が特異点の小さな解体であることを示す。
• 小さな解体が交差コホモロジーに同型を誘導することを用いて、IH*(X∨, ℚ) ≅ H*(Xsing, ℚ)が成り立ち、したがってH*(X, ℚ)がIH*(X∨, ℚ)に埋め込まれることを結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正規関数が代数的曲線上で消えるという条件下で、その関数が基底空間の境界で特異的であることが保証される条件は何か？
• RQ2 滑らかな射影多様体の双対多様体の交差コホモロジーに、元の多様体のコホモロジーが直接和成分として含まれる条件は何か？
• RQ3 正規関数の特異性と双対多様体内の特異点集合の幾何学的性質との正確な関係は何か？
• RQ4 非常に大きな線分束の次数が、双対多様体の特異点の解体および元の多様体のコホモロジーの埋め込みにどのように影響するか？

主な発見

• 非 torsion の原始的ホッジ類ηに関連する正規関数νの零点集合に代数的曲線が含まれるならば、その曲線の閉包が特異点集合X∨と交わる点でνは特異的である。
• 非常に大きな線分束H = dA（d ≥ 3）に対して、写像φ: Xsing → X∨は特異点の小さな解体である。
• その結果、双対多様体の交差コホモロジーは、IH*(X∨, ℚ) ≅ H*(Xsing, ℚ)を満たす。
• XsingがX上の射影バンドルであるため、H*(X, ℚ)はH*(Xsing, ℚ)の直接和成分であり、したがってIH*(X∨, ℚ)の直接和成分である。
• 条件d ≥ 3は、ファイバーの特異点集合の余次元が十分に大きく、解体が小さな解体であることを保証する。
• これらの結果は、滑らかなファイバーの消えるコホモロジーが非自明であるという仮定の下で成り立つが、これはDimcaとSaitoによりd ≥ 3のとき成立することが示されている。