[論文レビュー] Two-parameter asymptotic expansions for elliptic equations with small geometric perturbation and high contrast ratio

Jingrun Chen, Ling Lin+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 15, 2017

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、微小な幾何的摂動と高い導電率対比比を有する楕円型界面問題に対して、2パラメータ漸近展開を開発する。解を固定された参照領域に拡張し、テイラー展開技術を適用することで、任意の順序の漸近解が得られ、その結果、摂動の大きさと対比比の相対的スケーリングに応じて、ノイマン型またはロビン型境界条件が出現することが明らかになった。

ABSTRACT

We consider the asymptotic solutions of an interface problem corresponding to an elliptic partial differential equation with Dirich- let boundary condition and transmission condition, subject to the small geometric perturbation and the high contrast ratio of the conductivity. We consider two types of perturbations: the first corresponds to a thin layer coating a fixed bounded domain and the second is the per perturbation of the interface. As the perturbation size tends to zero and the ratio of the conductivities in two subdomains tends to zero, the two-parameter asymptotic expansions on the fixed reference domain are derived to any order after the single parameter expansions are solved be- forehand. Our main tool is the asymptotic analysis based on the Taylor expansions for the properly extended solutions on fixed domains. The Neumann boundary condition and Robin boundary condition arise in two-parameter expansions, depending on the relation of the geometric perturbation size and the contrast ratio.

研究の動機と目的

• 微小な幾何的摂動と導電率における高対比比が同時に作用する楕円型界面問題の解の漸近的挙動を分析すること。
• 固定された参照領域上で、摂動サイズ ε と対比比の両方を考慮した2パラメータ漸近展開を導出すること。
• ε と対比比の相対的スケーリングに応じて、漸近展開においてノイマン型またはロビン型境界条件がどのように出現するかを特定すること。
• 薄層や摂動を受ける界面を有する問題における高次の漸近近似を体系的に展開するフレームワークを提供すること。
• 確率的幾何的摂動を有する問題における不確実性定量化のための厳密な解析的基盤を確立すること。そのために、確率的問題を決定的摂動問題に還元する。

提案手法

• 摂動関数 h に基づく微分同相写像を用いて、摂動領域 D_ν に定義された解 u_ν を固定された参照領域 D に拡張する。
• 拡張された解に対して摂動パラメータ ε におけるテイラー展開を適用し、ε のべき級数としての漸近展開を可能にする。
• 2パラメータ展開における各項の階層的境界値問題を、ε のべきと対比比の一致により導出する。
• 得られた方程式を再帰的に解く：0次項は界面および境界条件を満たすラプラス方程式またはポアソン方程式を満たす。
• 界面 Γ を超える伝達条件を組み込み、高次項では法線方向微分と接線方向勾配が現れる。
• ノイマン型問題において ∂D^- ∩ ∂D = ∅ の場合に生じる定数を一意に決定するため、フラックスの積分制約などの可解性条件を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 微小な幾何的摂動と高い導電率対比比が同時に作用する楕円型界面問題の解は、どのように振る舞うか？
• RQ2 摂動サイズ ε と対比比の両方が微小である場合、2パラメータ漸近展開の構造はどのようなものか？
• RQ3 ノイマン型またはロビン型境界条件が漸近モデルに出現するスケーリング領域はどのようなものか？
• RQ4 固定された参照領域を用いて、解を任意の順序に体系的に展開する方法は何か？
• RQ5 界面の幾何構造と摂動関数 h の滑らかさが、展開の収束性および構造に果たす役割は何か？

主な発見

• 2パラメータ漸近展開は、まず単一パラメータ展開を解き、次に拡張解のテイラー展開を用いて任意の順序にまで拡張することで得られる。
• 薄層問題における1次項 u_0^0 は、D^- で調和方程式を満たし、Γ で法線方向微分がゼロであり、D^+ ではディリクレ境界条件を満たすポアソン方程式を満たす。
• 0次項解 u_0^{-0} ≡ C_0 の定数 C_0 は、可解性条件 ∫_Γ ∂_n u_0^{0} dS_Γ = -∫_{D^-} f d\mathbf{x} により一意に決定され、この条件は補助的な調和問題およびポアソン問題を解くことを含む。
• 高次項では、低次項の解の法線方向および接線方向微分が界面条件に現れ、h 及びその微分を含む補正項が付加される。
• ∂D^- ∩ ∂D = ∅ の場合、u_0^{-n} および u_1^{-n} のノイマン問題は定数の不定性を除いて一意に解かれるが、積分可解性条件により定数が固定される。
• 本手法は、ε と対比比の相対的スケーリングに応じて、漸近モデルにおいてディリクレ境界条件からノイマン型またはロビン型境界条件への遷移を的確に捉えている。