[論文レビュー] Two proofs of Størmer's theorem

Guillaume Aubrun, Stanisław J. Szarek|arXiv (Cornell University)|Dec 10, 2015

Quantum Information and Cryptography参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、2×2複素行列の正性を保つ写像が完全正値および共完全正値写像の和として表されることを特徴づけるストルマーの定理について、2つの簡潔で新規の証明を提示する。最初の証明では、ブルーディアの不動点定理を用いて一般の場合を双確率的の場合に還元する。第二の証明では、S-lemmおよびローレンツ錐の双対性を用い、従来の特殊な計算に頼る方法に代わる洗練された代替手法を提供する。主たる貢献は、定理の構造的結果を概念的に単純かつ自己完結的に導出したことにある。

ABSTRACT

The structure of the set of positivity-preserving maps between matrix algebras is notoriously difficult to describe. The notable exceptions are the results by Størmer and Woronowicz from 1960s and 1970s settling the low dimensional cases. By duality, these results are equivalent to the Peres-Horodecki positive partial transpose criterion being able to unambiguously establish whether a state in a 2 x 2 or 2 x 3 quantum system is entangled or separable. However, even in these low dimensional cases, the existing arguments (known to the authors) were based on long and seemingly ad hoc computations. We present a simple proof, based on Brouwer's fixed point theorem, for the 2 x 2 case (Størmer's theorem). For completeness, we also include another argument (following the classical outline, but highly streamlined) based on a characterization of extreme self-maps of the Lorentz cone and on a link - noticed by R. Hildebrand - to the S-lemma, a well-known fact from control theory and quadratic/semi-definite programming.

研究の動機と目的

• 2×2エルミート行列上の正性を保つ写像の構造に関するストルマーの定理の、新たな初等的証明を提供すること。
• 従来の証明に見られる長大で特殊な計算を、ブルーディアの不動点定理に基づく簡潔な議論に置き換えること。
• S-lemmとローレンツ錐の双対性を用いた第二の洗練された証明を提示し、量子情報理論と制御理論の間の直接的な関連を示すこと。
• すべての正性を保つ写像が、$ A\rho A^\dagger $ および $ B\rho^T B^\dagger $ の形の項を最大4つまで含む分解に分解可能であることを示し、分解が有限かつ明示的であることを確認すること。

提案手法

• 正定値作用素による共役を介して、$ \mathsf{M}_2^{sa} $ 上の内部正性を保つ写像が双確率的写像に共役可能であることをブルーディアの不動点定理を用いて示す。
• 2次元量子系における密度行列のブロッホ球表現を活用し、双確率的写像を $ \mathbb{R}^3 $ 上の線形作用素として、単位球を自身に写すものとして特定する。
• カラテオドリの定理を用い、このような作用素を最大4つの直交変換の凸結合として表現する。これらはユニタリ写像および転置写像に対応する。
• 双対性を用いて、正性を保つ写像を正定値行列の錐と関連づけ、ローレンツ錐 $ \mathcal{L}_n $ の構造を活用する。
• 再定式化されたS-lemmを適用し、2つの二次形式が空間全体を覆う条件を特徴づけ、極値性および分解の証明を可能にする。
• 正性を保つ写像の極値写像は、必ずローレンツ錐の自己同型であることを示し、目的の分解に至る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ストルマーの定理は、長大で特殊な計算に依存せずに証明可能か？
• RQ2 ブルーディアの不動点定理は、低次元量子系における正性を保つ写像の構造証明を簡略化するために適用可能か？
• RQ3 制御理論における$ S $-lemmと$ \mathsf{M}_2^{sa} $における正性を保つ写像の分解との間に直接的な関連は存在するか？
• RQ4 $ \mathsf{M}_2^{sa} $ 上の正性を保つ写像の分解に必要な最小の項数は何か？
• RQ5 ローレンツ錐の構造は、正性を保つ写像の極値性とどのように関連しているか？

主な発見

• 任意の正性を保つ写像 $ \Phi: \mathsf{M}_2^{sa} \to \mathsf{M}_2^{sa} $ は、$ \Phi(\rho) = \sum_j A_j \rho A_j^\dagger + \sum_k B_k \rho^T B_k^\dagger $ の形に分解可能であり、写像が分解可能であることが確認される。
• 分解に含まれる項の総数は、$ \mathbb{R}^3 $ 内の単位球にカーラテオドリの定理を適用することで、最大4つであることが保証される。
• ブルーディアの不動点定理に基づく証明では、一般の場合が双確率的の場合に還元され、写像が最大混合状態およびトレースを保存することを保証する。
• 第二の証明では、正性を保つ写像の極値性とローレンツ錐 $ \mathcal{L}_n $ の自己同型との関連を確立し、非極値写像が錐内での摂動が可能であることを示す。
• S-lemmを再定式化した形で用い、2つの二次形式が $ \mathbb{R}^n $ を覆うならば、それらの凸結合が半正定値であることを示し、極値性の証明に不可欠な役割を果たす。
• 証明により、錐の極値線に属さない任意の写像は、正性を保つ摂動を許容することを示し、写像がローレンツ錐の自己同型でない限り、その線は極値でないことが示される。