[論文レビュー] Two recursive decompositions of Brownian bridge

David Aldous, Jim Pitman|ArXiv.org|Feb 25, 2004

Stochastic processes and statistical mechanics被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、ブラウン運動ブリッジのゼロ集合および局所時間に基づく2つの異なる再帰的分解を提示し、それらをランダム写像の漸近的分布と関連付ける。これらの分解が、連結成分およびサイクル長の同じ極限分布をもたらすことを確立し、自己相似マルコフ過程および安定劣調和子を介して、エクcursionのポアソン過程およびポアソン＝ディリクレ分布との深い関係を明らかにする。主な結果として、二変量点過程のサイズバイアス順序における逆説的な双対性が示される。

ABSTRACT

Aldous and Pitman (1994) studied asymptotic distributions, as n tends to infinity, of various functionals of a uniform random mapping of a set of n elements, by constructing a mapping-walk and showing these mapping-walks converge weakly to a reflecting Brownian bridge. Two different ways to encode a mapping as a walk lead to two different decompositions of the Brownian bridge, each defined by cutting the path of the bridge at an increasing sequence of recursively defined random times in the zero set of the bridge. The random mapping asymptotics entail some remarkable identities involving the random occupation measures of the bridge fragments defined by these decompositions. We derive various extensions of these identities for Brownian and Bessel bridges, and characterize the distributions of various path fragments involved, using the theory of Poisson processes of excursions for a self-similar Markov process whose zero set is the range of a stable subordinator of index between 0 and 1.

研究の動機と目的

• 一様ランダム写像の漸近的解析に動機づけられ、ゼロ集合および局所時間プロセスを用いてブラウン運動ブリッジの2つの異なる再帰的分解を確立すること。
• これらの分解における断片長および局所時間の連関分布を特徴づけ、特にランダム写像の成分およびサイクルの極限的挙動と関連付けること。
• 自己相似マルコフ過程のLévy–Itôのエクスカージョン理論を用いて、ブリッジ断片の占有測度に関する恒等式を、Besselおよびブラウン運動ブリッジへと拡張すること。
• ブリッジ分解から得られる二変量ポアソン過程のサイズバイアス抽出における双対性を分析し、Y順序の点がXバイアス順序を誘発するのは特定の強度条件のもとでのみ成り立つことを示すこと。
• ラプラス指数ψ(ξ)を有するクラスの劣調和子に対して、強度ρ(x,y) = y⁻¹f_y(x)e^(-ξx)の二変量ポアソン過程が、Xバイアス順序がYバイアス順序を含意するが逆は成り立たないという逆説的順序性を満たすことを証明すること。

提案手法

• 区間[0,1]の2つの区間分割を定義する：ブラウン運動ブリッジのゼロ集合内の一様ランダム時刻を用いたD分割、および局所時間増分を用いたT分割。
• スケーリングされた写像ウォークの弱収束を反射ブラウン運動ブリッジに用いて、ランダム写像関数の性質をブリッジパス断片および局所時間増分に関連付ける。
• 自己相似マルコフ過程のポアソン的エクスカージョンのLévy–Itô理論を適用し、ゼロ集合が指数α ∈ (0,1)の安定劣調和子の値域に等しい場合を対象とする。
• 断片長および局所時間の二変量ポアソン過程の強度測度ν(dx,dy) = ρ(x,y)dx dyを導出する。ここでρ(x,y) = y⁻¹f_y(x)e^(-ξx)であり、f_y(x)は劣調和子τ_yの密度関数である。
• Palm計算を用いて、サイズバイアス抽出下での最初の点および全和の連関分布を導出し、順序の双対性に必要な十分条件を導く。
• 劣調和子の増分の交換可能性およびラプラス変換を用いて、強度測度ρ(x,y)が逆説的順序性を満たす恒等式を満たすことを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ゼロ集合内の一様時刻および局所時間レベルに基づくブラウン運動ブリッジの2つの異なる再帰的分解は、一様ランダム写像の成分およびサイクルの漸近的分布とどのように関係するか？
• RQ2 ブラウン運動ブリッジのDおよびT分割における断片長および局所時間増分の連関分布は何か？ そして、それらはポアソン＝ディリクレ分布とどのように関連するか？
• RQ3 二変量ポアソン過程の強度測度ρ(x,y)が満たすべき条件は何か？ ここでXバイアス順序がYバイアス順序を含意するが、逆は成り立たない。
• RQ4 安定劣調和子のゼロ集合を持つ自己相似マルコフ過程のLévy–Itôのエクスカージョン理論は、Besselおよびブラウン運動ブリッジへの占有測度恒等式の拡張をどのように可能にするか？
• RQ5 サイズバイアス順序付けられた二変量ポアソン過程における最初の断片の分布と残りの断片の和との正確な関係は何か？ そして、これは劣調和子のラプラス指数とどのように関係するか？

主な発見

• D分割およびT分割の両方において、一様ランダム写像の連結成分およびサイクルのスケーリングされたサイズは、断片構造が異なるにもかかわらず、同じ極限分布をもたらす。
• ブリッジ分解から導かれる断片長および局所時間の二変量ポアソン過程の強度はρ(x,y) = y⁻¹f_y(x)e^(-ξx)であり、f_y(x)は劣調和子τ_yの密度関数である。
• この強度測度に対して、Xバイアス順序がYバイアス順序を含意するが、逆は成り立たない。これは逆説的双対性を示している。
• この双対性が成り立つ条件は、E[τ_y / (τ_y + τ_v) | τ_y + τ_v] = y / (y + v) と等価であり、これは劣調和子の増分の交換可能性により成立する。
• 最初の点(X₁, Y₁)と全和(Σ_X, Σ_Y)の連関分布は、P(X₁∈dx, Y₁∈dy, Σ_X−X₁∈dw, Σ_Y−Y₁∈dv) = ρ(x,y)dx dy f_{X,Y}(w,v) dw dv (x/(x+w)) を満たし、Palm測度構造が確認される。
• Xバイアス順序下でのY₁の周辺分布は、強度測度が特定の対称性条件を満たす場合に限り、Yバイアスに従わない。この条件は、導出されたρ(x,y)に対して検証された。