[論文レビュー] Two recursive GMRES-type methods for shifted linear systems with general preconditioning

Kirk M. Soodhalter|arXiv (Cornell University)|Mar 18, 2014

Matrix Theory and Algorithms参考文献 26被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、一般の右前処理を伴うシフトされた線形方程式系の系列を効率的に解くために、シフトされたGMRESおよびシフトされたリサイクルGMRESの2つの再帰的クリロフ部分空間法を提案する。シフトされた残差を基本系の生成するクリロフ部分空間に射影することにより、追加コストを最小限に抑えつつ複数のシフトされた方程式系を効率的に解くことが可能となり、特に柔軟かつ不正確な前処理においても、競争力のある性能と安定した追加シフトあたりのコストを示している。

ABSTRACT

We present two minimum residual methods for solving sequences of shifted linear systems, the right-preconditioned shifted GMRES and shifted recycled GMRES algorithms which use a seed projection strategy often employed to solve multiple related problems. These methods are compatible with general preconditioning of all systems, and when restricted to right preconditioning, require no extra applications of the operator or preconditioner. These seed projection methods perform a minimum residual iteration for the base system while improving the approximations for the shifted systems at little additional cost. The iteration continues until the base system approximation is of satisfactory quality. The method is then recursively called for the remaining unconverged systems. We present both methods inside of a general framework which allows these techniques to be extended to the setting of flexible preconditioning and inexact Krylov methods. We present some analysis of such methods and numerical experiments demonstrating the effectiveness of the algorithms we have derived.

研究の動機と目的

• 係数行列がスカラーのシフトのみで異なる場合に、複数のシフトされた線形方程式系を効率的に解く課題に対処すること。
• 一般の前処理と互換性のない既存手法や、シフト下でのクリロフ部分空間の不変性に依存する手法の限界を克服すること。
• 基本系から生成された部分空間を用いて、シフトされた方程式系に対する最小残差射影を可能にするフレームワークの構築により、一般の右前処理との整合性を保証すること。
• 収束を向上させるために、増強クリロフ部分空間法（例：リサイクルGMRES）への拡張を図り、係数行列がゆっくりと変化する方程式系の系列に対する性能を向上させること。
• 柔軟かつ不正確なクリロフ法との整合性を確保し、格子QCD やチホノフ正則化などの実世界の問題への応用範囲を広げること。

提案手法

• 基本系の最小残差解法中に生成されるクリロフ部分空間に、シフトされた残差を射影する一般化されたフレームワークを提案する。
• 基本系のクリロフ部分空間を再利用することで、低コストでシフトされた方程式系の残差を最小化する再帰的手法として、シフトされたGMRESを導出する。
• フレームワークをシフトされたリサイクルGMRESに拡張し、調和リツベクトルのリサイクルを組み込んで、行列が変化する方程式系の系列における収束を加速する。
• シード射影戦略を用いて、シフト間でクリロフ部分空間を再利用し、重複する行列・ベクトル積と記憶を最小限に抑える。
• クリロフ部分空間のシフト不変性を仮定しないことで、一般の右前処理との整合性を確保する。
• 柔軟かつ不正確なクリロフソルバーに統合することで、変動する前処理や不正確な行列・ベクトル積を伴う問題への適用を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の右前処理と互換性を保ちつつ、複数のシフトされた線形方程式系を効率的に解く再帰的最小残差法を設計できるか？
• RQ2 提案された再帰的フレームワークを用いた場合、追加のシフト方程式系を解く際の追加計算コストはどの程度か？
• RQ3 シフトされたリサイクルGMRESの収束性と安定性は、標準的なリサイクルGMRESと比較して、シフトの大きさが異なる条件下でどのように異なるか？
• RQ4 このフレームワークは、柔軟かつ不正確なクリロフ部分空間法へどの程度まで拡張可能か？
• RQ5 本手法は、大きな値や小さな値をとるシフトの分布に対しても、効果を維持するか？

主な発見

• シフトされたGMRESおよびシフトされたリサイクルGMRESは、競争力のある性能を示しており、後者はより多くのシフト数において安定した追加コストを示している。
• 区間 [0,1] 内のシフトでは、追加シフトごとのコストが低下し、シフトされたリサイクルGMRESは標準的なリサイクルGMRESよりも低く保たれている。
• 区間 [1,10] 内のシフトでは、標準的なリサイクルGMRESではコストが増加するが、シフトされたリサイクルGMRESではコストが落ち着き、安定化するため、スケーラビリティが向上していることが示された。
• 大規模なQCD行列を用いた数値実験では、シフトされた方程式系の残差改善がシフトの大きさに相関しており、条件数が良い系（σが大きい）は速く収束するが、ランチョス・ガラーキン射影の有効性は低下している。
• フレームワークは、柔軟かつ不正確なクリロフ法と完全に互換性があり、変動する前処理を伴う実世界の問題への応用範囲を広げている。
• 右前処理を用いる場合、基本系の反復処理に追加で行列・ベクトル積を必要としないため、計算的に効率的である。