[論文レビュー] Two remarks on the Shrinking Target Property

Bassam Fayad|ArXiv.org|Jan 13, 2005

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 3被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、トーラス 𝕋^d 上の翻訳が、回転ベクトル α が定数型であるときかつそのときに限り、単調収縮標的性質（MSTP）を満たすことを確立する。線形フローの再パrametrization を用いて、3次元トーラス上に、すべての順序で混合的であるが MSTP を満たさない、実解析的かつ面積を保存する写像をさらに構成し、混合性と MSTP がエゴドリシティの強化として独立であることを示している。

ABSTRACT

We show that a translation of vector V on the torus has the monotone shrinking target property if and only if the vector V is of constant type. Then, using reparametrizations of linear flows, we show that there exist area preserving real analytic maps of the three torus that are mixing of all orders and do not enjoy the monotone shrinking target property.

研究の動機と目的

• トーラス翻訳が単調収縮標的性質（MSTP）を満たす条件を同定すること。
• 滑らかな力学系におけるすべての順序での混合性と MSTP の関係を調査すること。
• すべての順序で混合的だが MSTP を満たさない、𝕋^3 上の面積を保存する実解析的写像の明示的例を構成すること。
• MSTP とすべての順序での混合性が、エゴドリシティの強化であるにもかかわらず、独立な性質であることを示すこと。

提案手法

• ディオファントス近似の技法と測度論的議論を用いて、トーラス翻訳 T_α が MSTP を満たすのは α が定数型であるとき、かつそのときに限ることを証明する。
• 再パラメトリゼーション理論を応用し、混合が遅く、戻り時間が制御可能な 𝕋^3 上の滑らかなフローを構成する。
• キンチンの転送原理と同時ディオファントス近似に関する推定を用いて、測度の和が発散するが戻り測度は有限であるような収縮標的の列を構成する。
• ポincare の戻り写像を用いて、𝕋^{d+1} 上の力学を 𝕋^d 上の基本翻訳 T_α に結びつける。これにより、戻り時間による測度推定が可能になる。
• α ∉ Ω_d(2/d) ならば、𝕋^{d+1} 上の再パラメトリゼーションされたフローは、前画像の上極限が測度 0 であることを示すことによって MSTP を満たさないことを確立する。
• 不変測度 μ_φ とハール測度との測度同値性を用いて、ハール測度を保存する写像に同相で写した系に対しても MSTP の失敗を転送する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの回転ベクトル α に対して、𝕋^d 上のトーラス翻訳 T_α が単調収縮標的性質（MSTP）を満たすか。
• RQ2 滑らかで面積を保存する系において、すべての順序での混合性と MSTP の失敗が共存しうるか。
• RQ3 MSTP と高階の混合性は、力学系において独立な性質か。
• RQ4 回転ベクトルのディオファントス的性質が MSTP 決定に果たす役割は何か。
• RQ5 線形フローの再パラメトリゼーションは、収縮標的行動と混合速度にどのように影響するか。

主な発見

• トーラス翻訳 T_α が 𝕋^d 上で MSTP を満たすのは、回転ベクトル α が定数型であるとき、すなわち α ∈ Ω_d(0) のとき、かつそのときに限る。
• すべての順序で混合的だが MSTP を満たさない、𝕋^3 上の実解析的かつ面積を保存する写像が存在する。
• この構成は、α ∉ Ω_d(2/d) であるような回転ベクトルを用いた線形フローの再パラメトリゼーションに依存しており、これにより混合が遅く、MSTP が満たされないことが保証される。
• このような系では、収縮標的の前画像の上極限が測度 0 である一方で、標的の測度の和は発散する。
• MSTP の失敗は、ハール測度を保存する系への同相写像によっても保たれるため、標準的な測度保存系においても結果が成り立つ。
• MSTP とすべての順序での混合性は独立な性質である：一方が他方を含意しない。滑らかで体積を保存する系においても同様である。