[論文レビュー] Two representation theorems of three-valued structures by means of binary relations

Luisa Iturrioz|ArXiv.org|Oct 4, 2007

Advanced Algebra and Logic参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、二進関係代数に埋め込むことによって、T-構造と呼ばれる三値構造の2つの表現定理を提示する。Stone型双対性を用いて、任意のT-構造が、内部、閉包、否定といった演算が対称的関係と集合の部分集合上の集合演算によって表現される関係的T-構造と同型であることを確立する。

ABSTRACT

The results here presented are a continuation of the algebraic research line which attempts to find properties of multiple-valued systems based on a poset of two agents. The aim of this paper is to exhibit two relationships between some three-valued structures and binary relations. The established connections are so narrow that two representation theorems are obtained.

研究の動機と目的

• 三値構造（T-構造）を二進関係を用いて表現することにより、明示的な代数的実装を提供すること。
• 分配的格子の双対理論を、補元C、内部S₁、閉包S₂という三つの単項演算子を備えたT-構造へと拡張すること。
• T-構造がすべての演算と恒等式を保存する関係的代数として完全に表現可能であることを示すこと。
• 関係的解釈を通じて、T-構造と粗い集合論の間の関係を明確化すること。
• 集合Eと対称的関係Gを用いて、抽象的T-構造と具象的関係モデルとの間の構成的同型を提供すること。

提案手法

• 基礎となる分配的格子の素フィルター（または素イデアル）のスペクトラムを用いたStone型表現を構築する。
• f(a) を a を含む素フィルターの集合とするとき、写像 h: A → G ∩ (f(A) × E) を定義する。ここで G は E 上の対称的関係である。
• 単項演算子 S₁, S₂, C を関係的演算によって表現する：S₁(a) = h(a) ∩ h(a)⁻¹, S₂(a) = h(a) ∪ h(a)⁻¹, C(a) = パワー集合における補集合。
• フィルターの性質と決定原理を用いて、写像 h がすべての演算（積、和、S₁、S₂、C）を保存することを証明する。
• h の像が元の代数と同型である関係的T-構造をなしており、すべての公理（T1）–（T7）を満たすことを検証する。
• S₂(a) = f(a) ∪ g(f(a)) および S₁(a) = f(a) ∩ g(f(a)) であることに着目し、g を対称的関係 G に関連する対合とみなす。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意のT-構造は、すべての演算を保存する二進関係の関係的代数として表現可能か？
• RQ2 T-構造における三つの単項演算子 S₁, S₂, C は、集合上での関係を用いてどのように具象的に解釈できるか？
• RQ3 対称的関係とその逆関係は、三値論理における内部および閉包演算子のモデル化において果たす役割は何か？
• RQ4 T-構造の公理（T1）–（T7）は、表現における関係的集合演算とどの程度対応するか？
• RQ5 非関数的完全性を有するT-構造へとStone型双対性を拡張する方法は存在するか？特に粗い集合論と直感的論理の文脈において。

主な発見

• 任意のT-構造は、集合Eの部分集合であり、対称的関係Gを備えた関係的T-構造と同型である。
• 表現写像 h はすべての演算を保存する：h(a ∧ b) = h(a) ∩ h(b), h(a ∨ b) = h(a) ∪ h(b), h(S₁a) = S₁h(a), h(S₂a) = S₂h(a), h(Ca) = Ch(a)。
• 演算子 S₂ は、関係 R とその逆関係 R⁻¹ の和集合として表現され、すなわち S₂(R) = R ∪ R⁻¹ である。一方、S₁(R) = R ∩ R⁻¹ である。
• 表現の像は関係的演算について閉じており、元のT-構造と同型な部分代数をなす。
• 表現は忠実かつ単射であり、決定原理（T6）に依拠しており、像における等式が元の代数における等式を示す。
• 関係的モデルはすべての公理（T1）–（T7）を満たしており、特に S₁a ∨ Ca = 1 および S₁a ∧ Ca = 0 という重要な恒等式が、関係的補集合と交差によって保存される。