[論文レビュー] Two Results on Homogeneous Hessian Nilpotent Polynomials

Arno van den Essen, Wenhua Zhao|ArXiv.org|Apr 13, 2007

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems参考文献 4被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、同次ヘッセ行列がノルムな（HN）多項式に関する2つの主要な結果を確立する。第一に、HN多項式と二次形式∑zᵢ²が定める射影的代数的集合が、HN多項式の正則点でのみ交わるならば、消失予想が成り立つ。第二に、消失予想は、任意の多項式f(z)に対してΔᵐ(fPᵐ) = 0が十分大きなmで成り立つというより強い条件と同値である。これらの結果は、対称写像還元を介してジャンビアン予想の進展をもたらす。

ABSTRACT

Let $z=(z_1, ..., z_n)$ and $Δ=\sum_{i=1}^n \frac {\partial^2}{\partial z^2_i}$ the Laplace operator. A formal power series $P(z)$ is said to be {\it Hessian Nilpotent}(HN) if its Hessian matrix $\Hes P(z)=(\frac {\partial^2 P}{\partial z_i\partial z_j})$ is nilpotent. In recent developments in [BE1], [M] and [Z], the Jacobian conjecture has been reduced to the following so-called {\it vanishing conjecture}(VC) of HN polynomials: {\it for any homogeneous HN polynomial $P(z)$ $($of degree $d=4$$)$, we have $Δ^m P^{m+1}(z)=0$ for any $m>>0$.} In this paper, we first show that, the VC holds for any homogeneous HN polynomial $P(z)$ provided that the projective subvarieties ${\mathcal Z}_P$ and ${\mathcal Z}_{σ_2}$ of $\mathbb C P^{n-1}$ determined by the principal ideals generated by $P(z)$ and $σ_2(z):=\sum_{i=1}^n z_i^2$, respectively, intersect only at regular points of ${\mathcal Z}_P$. Consequently, the Jacobian conjecture holds for the symmetric polynomial maps $F=z- abla P$ with $P(z)$ HN if $F$ has no non-zero fixed point $w\in \mathbb C^n$ with $\sum_{i=1}^n w_i^2=0$. Secondly, we show that the VC holds for a HN formal power series $P(z)$ if and only if, for any polynomial $f(z)$, $Δ^m (f(z)P(z)^m)=0$ when $m>>0$.

研究の動機と目的

• 同次HN多項式P（次数d ≥ 4）に対して、その射影的代数的集合Z_Pの幾何的条件のもとで、消失予想を証明すること。
• 消失予想と、任意の多項式f(z)を含むより強い条件との同値性を確立すること。
• 対称多項式写像F = z − ∇Pの性質に還元することで、ジャンビアン予想の解決に寄与すること。
• ヘッセ行列がノルムであることとラプラシアン作用素Δの作用が、多項式イデアルおよび微分方程式系の構造において果たす役割を明確にすること。

提案手法

• 代数幾何学的手法を用いて、ℂPⁿ⁻¹における射影的代数的集合Z_PとZ_σ₂の交点を分析する。ここでσ₂(z) = ∑zᵢ²である。
• オイラーの公式と、共通零点が対称写像F = z − ∇Pの固定点に対応することを適用する。
• ラプラシアン作用素Δと、Pᵐ⁺¹への繰り返し作用Δᵐを用いて、消失予想をテストする。
• 多項式空間における双対性と、双線型形式B_mの非退化性を活用し、解空間の有限次元性を示す。
• Δᵐ(fPᵐ) = ∑混合微分項と多項式係数を含む恒等式を用いて、より強い予想を分析する。
• 既知の結果[Z]を援用し、ジャンビアン予想と消失予想との同値性を活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 同次HN多項式P（次数d ≥ 4）に対して、その射影的代数的集合Z_Pの幾何的条件が、消失予想が成り立つための条件となるのはどのような場合か？
• RQ2 消失予想は、すべての多項式f(z)と十分大きなmに対してΔᵐ(f(z)P(z)ᵐ) = 0が成り立つというより強い命題と同値か？
• RQ3 対称写像F = z − ∇Pの固定点は、代数的集合Z_Pの特異点およびΔᵐPᵐ⁺¹の消失とどのように関係するか？
• RQ4 消失予想は、∂P/∂zᵢ(D)とΔを含む微分方程式系の解空間に関する条件に還元可能か？

主な発見

• 同次HN多項式P（次数d ≥ 4）に対して、射影的代数的集合Z_PとZ_σ₂がZ_Pの正則点でのみ交わるならば、消失予想が成り立つ。
• 消失予想は、すべての多項式f(z)と十分大きなmに対してΔᵐ(f(z)P(z)ᵐ) = 0が成り立つという条件と同値である。
• 対称写像F = z − ∇Pが∑wᵢ² = 0を満たす非ゼロ固定点を持たないならば、Fに対してジャンビアン予想が成り立つ。
• すべてのiに対してΔu = 0および∂P/∂zᵢ(D)u = 0を満たす系の解空間が有限次元であるための必要十分条件は、Z_PとZ_σ₂が非ゼロの共通零点を持たないことである。
• 解空間の有限次元性により、項の次数の増加に伴い、ΔᵐPᵐ⁺¹の消失が大まかに導かれる。
• すべてのfと十分大きなmに対してΔᵐ(fPᵐ) = 0であるというより強い条件は、消失予想を含み、逆に消失予想からも導かれる。これは明示的な展開と項の次数の上限を用いて示される。