[論文レビュー] Two-Scale Approach to an Asymptotic Solution of Maxwell Equations in Layered Periodic Media

Maria V. Perel, Mikhail S. Sidorenko|arXiv (Cornell University)|Oct 31, 2015

Photonic Crystals and Applications参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、三次元積層周期的媒体における分散面の停留点近傍でマクスウェル方程式を解くために二尺度漸近法を開発する。導出された一次近似解は、緩やかに変化する包絡関数で変調された二つのフロケ＝ブロッホモードの重ね合わせであり、包絡関数は停留点の性質に応じて双曲型または楕円型方程式を満たす。これにより、局在的または歪みのない波ビームの記述が可能となる。

ABSTRACT

An asymptotic investigation of monochromatic electromagnetic fields in a layered periodic medium is carried out under the assumption that the wave frequency is close to the frequency of a stationary point of the dispersion surface. We find solutions of Maxwell equations by the method of two-scale asymptotic expansions. We establish that the principal order of the expansion of a solution dependent on three spatial coordinates is the sum of two differently polarized Floquet-Bloch solutions, each of which is multiplied by a slowly varying envelope function. We derive that the envelope functions satisfy a system of differential equations with constant coefficients. In new variables, it is reduced to a system of two independent equations, both of them are either hyperbolic or elliptic, depending on the type of the stationary point. The envelope functions are independent only in the planar case. Some consequences are discussed.

研究の動機と目的

• 三次元積層周期的媒体における分散面の停留点近傍での単色電磁場を数学的に解析すること。
• 非発散型方程式に適用可能な、行列形式のマクスウェル方程式への二尺度漸近法の拡張すること。
• フロケ＝ブロッホモードの緩やかな変調を支配する包絡関数の微分方程式系を導出すること。
• 分散面における停留点の性質に応じて、包絡関数方程式の種別（双曲型または楕円型）を特定すること。
• 包絡関数が独立しており、解が所定の関数空間に属し続けるための条件を確立すること。

提案手法

• 高速（周期的）および低速（マクロな）空間変数を導入することで、二尺度漸近展開法を用いる。
• フェルゼンとマルクビッツが提唱した行列形式を用いてマクスウェル方程式を表現し、体系的な漸近解析を可能にする。
• 解を、それぞれが緩やかに変化する包絡関数で変調された二つのフロケ＝ブロッホモードの和に分解する。
• 漸近展開における項を一致させることで、包絡関数の定数係数をもつ微分方程式系を導出する。
• 分散面の停留点における曲率に応じて、方程式系を二つの独立した方程式（双曲型または楕円型）に変換する。
• 関数解析および対称性の議論を用いて、特に特解の周期的境界におけるジャンプを同次フロケ＝ブロッホ解で相殺することで、解の存在および連続性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、積層周期的媒体における非発散型方程式に適用可能なマクスウェル方程式への二尺度漸近法を適応できるか？
• RQ2 三次元における分散面の停留点近傍で、マクスウェル方程式の一次近似解の構造はどのようなものか？
• RQ3 二つの偏光状態をとるフロケ＝ブロッホモードの包絡関数が、独立した双曲型または楕円型方程式に分離する条件は何か？
• RQ4 特解が周期的境界でジャンプを示す場合、解を周期内に連続かつ所定の関数空間に属するように構成するにはどうすればよいか？
• RQ5 有効な包絡関数記述において、波動ダイナミクスが双曲型（波動的）または楕円型（局在的）であるかどうかを決定するのは何か？

主な発見

• 主項解は、それぞれが緩やかに変化する包絡関数で変調された、異なる偏光状態の二つのフロケ＝ブロッホモードの重ね合わせである。
• 包絡関数は定数係数をもつ微分方程式系に従い、この方程式系は二つの独立した方程式に分解可能である。
• 包絡関数方程式の種別（双曲型または楕円型）は、分散面上の停留点の性質に依存する。
• 包絡関数は平面状の場合はのみ独立となる。この場合、波数依存性が単純化される。
• 特解の境界ジャンプを同次フロケ＝ブロッホ解の係数を調整することで相殺することで、解を周期全体にわたり連続に構成可能である。
• 本手法により、積層媒体における歪みのないビーム伝搬の存在が裏付けられ、従来の数値的および物理的研究と整合的であるが、今や三次元において厳密な数学的根拠が与えられた。