[論文レビュー] Two-scale convergence of elliptic spectral problems with indefinite density function in perforated domains

Hermann Douanla|arXiv (Cornell University)|Jun 20, 2011

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 23被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、2スケール収束を用いて、周期的穴あき領域における符号変化を示す密度関数を有する楕円型スペクトル問題の均質化を検討する。密度関数の穴あき領域上での平均が正、負、またはゼロであるかに応じて、正および負の固有対の簡潔な均質化極限を確立し、それぞれの状況において顕著な漸近的挙動の違いを明らかにする。

ABSTRACT

Spectral asymptotics of linear periodic elliptic operators with indefinite (sign-changing) density function is investigated in perforated domains with the two-scale convergence method. The limiting behavior of positive and negative eigencouples depends crucially on whether the average of the weight over the solid part is positive, negative or equal to zero. We prove concise homogenization results in all three cases.

研究の動機と目的

• 周期的穴あき領域における不確定密度関数を有する線形楕円型作用素のスペクトル漸近挙動を分析すること。
• 密度関数の穴あき領域上での平均の符号に応じて、固有値および固有関数の均質化極限がどのように依存するかを特定すること。
• 固定でない、振動する領域における符号変化を示す重み関数を有するスペクトル問題に、2スケール収束の技法を拡張すること。
• 密度関数の平均が正、負、ゼロの3つの場合について、均質化結果を包括的に分類すること。

提案手法

• 穴あき領域における密度関数および係数関数の振動的挙動を扱うために2スケール収束の応用。
• 周期的アンフォールディングおよび補正子構成を用いて、均質化極限方程式を導出すること。
• 速い変数および遅い変数を含む補正子項を含む、固有関数および固有値の2スケール漸近展開の導出。
• 周期性細胞 $Y^*$ における細胞問題の解法により、有効係数および均質化作用素を決定すること。
• 変分定式化および弱収束の議論を用いて、スペクトル問題における極限への移行を実施すること。
• エネルギー法およびミニマックス原理を用いて固有値を特徴付け、固有対の収束を保証すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 密度関数が符号を変える場合、穴あき領域のサイズ $\varepsilon \to 0$ のとき、正および負の固有対はどのように振る舞うか？
• RQ2 穴あき領域上での密度関数の平均が正、負、またはゼロである場合、固有値問題の均質化極限は何か？
• RQ3 2スケール収束は、周期的穴あき領域における不確定重み関数を有するスペクトル問題に効果的に適用可能か？
• RQ4 固有関数および固有値はどのように収束するか？また、漸近展開における補正子項の構造は何か？
• RQ5 均質化極限における有効作用素および固有値方程式は何か？また、これらは重み関数の平均にどのように依存するか？

主な発見

• 密度関数の $Y^*$ 上での平均が正の場合、正の固有対は正定値有効作用素を有する均質化問題に収束する。
• 平均が負の場合、負の固有対は負定値有効作用素を有する均質化問題に収束する。
• 平均がゼロの場合、遅い変数と速い変数の間に非自明な結合が生じ、非退化有効作用素を有する修正された固有値問題が均質化極限に現れる。
• 固有関数は補正子項を含む2スケール構造を介して $H^1$-ノルムで収束し、勾配の強い収束を保証する。
• 均質化された固有関数の正規直交性は、$\nu^2 = \int_{Y^*} \rho(y) \chi^0(y) dy$ を含む係数によって特徴付けられ、これは細胞問題の解に依存する。
• 単一固有値の場合、収束は全列に対して成立し、勾配に関して補正子型の収束結果が確立される。