[論文レビュー] Two Schemes for Fractional Diffusion and Diffusion-Wave Equations with Nonsmooth Data

Bangti Jin, Raytcho Lazarov+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 15, 2014

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 24被引用数 19

ひとこと要約

本稿では、空間方向に一次線形ガラーキン有限要素法、時間方向に後退オイラー法または2次後退差分法に基づく畳み込み・クワドラチャを用いた完全離散スキームを、非滑らか初期データを伴う分数階サブディフュージョン方程式およびディフュージョンウェーブ方程式に対して提案する。これらのスキームは、解が古典的滑らかさを欠いても、それぞれ時間方向に最適収束率の1次および2次を達成する。これは、厳密な誤差推定と数値実験によって裏付けられている。

ABSTRACT

We consider the initial/boundary value problem for the fractional diffusion and diffusion-wave equations involving a Caputo fractional derivative in time. We develop two "simple" fully discrete schemes based on the Galerkin finite element method in space and convolution quadrature in time with the generating function given by the implicit backward Euler method/second-order backward difference method, and establish error estimates optimal with respect to the regularity of the initial data. These two schemes are first and second-order accurate in time for nonsmooth initial data. Extensive numerical experiments for one and two-dimensional problems confirm the convergence analysis. A detailed comparison with several popular time stepping schemes is also performed. The numerical results indicate that the proposed fully discrete schemes are accurate and robust for nonsmooth data, and competitive with existing schemes.

研究の動機と目的

• 非滑らか初期データを伴う分数階サブディフュージョン方程式およびディフュージョンウェーブ方程式のための強固な数値スキームの開発。
• 従来の手法が解の時間的高次正則性を要することの制限を克服すること。
• 解が $ C^2 $ または $ C^3 $ でない場合でも成立する最適誤差推定の確立。
• 滑らかでない問題データに対しても安定性と収束性を保証すること。
• 広範な2次元数値実験を通じて理論的結果の妥当性を検証すること。

提案手法

• 空間離散化には、凸多角形領域上での一次線形ガラーキン有限要素法を用いる。
• 時間離散化には、後退オイラー法または2次後退差分法に基づく畳み込み・クワドラチャを採用する。
• 畳み込み・クワドラチャの生成関数は、時間積分スキームに由来し、安定性と精度を保証する。
• スキームは完全離散的であり、空間半離散化と時間積分スキームを組み合わせたものである。
• 誤差推定は、ラプラシアンの固有値性質と重み付き時間空間における解の正則性解析を用いて導出される。
• 同定義は、初期データが $ L^2(\bar{\Omega}) $ および $ H^1_0(\bar{\Omega}) $ に属する同次および非同次問題を含む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 解が古典的滑らかさを欠いても、分数階サブディフュージョン方程式およびディフュージョンウェーブ方程式に対して最適収束率を達成できるか？
• RQ2 後退オイラー法および2次後退差分法に基づく畳み込み・クワドラチャスキームは、非滑らかデータに対してどのように性能を示すか？
• RQ3 データの正則性が完全離散有限要素スキームの収束挙動に与える影響は何か？
• RQ4 解の正則性に依存せず、データの正則性のみに依存する誤差推定を導出できるか？
• RQ5 $ L^2 $ 初期データおよび $ H^1 $ 初期条件を含むさまざまなデータタイプに対して、スキームの強健性はいかがなものか？

主な発見

• 後退オイラー法に基づく畳み込み・クワドラチャを用いた1次スキームは、滑らかでないデータに対しても時間方向に最適な $ O(\tau) $ 収束を達成する。
• 2次後退差分法に基づく2次スキームは、滑らかでないデータに対しても時間方向に最適な $ O(\tau^2) $ 収束を達成する。
• 誤差境界はデータの正則性に従って導出され、解の $ C^2 $ または $ C^3 $ 正則性の要件はない。
• 解が $ t=0 $ 近傍で特異的挙動を示しても、$ v \in L^2(\Omega) $ および $ b \in L^2(\Omega) $ に対して安定で強健である。
• 2次元での数値実験により、理論的収束率およびさまざまなデータ正則性における強健性が確認された。
• 理論的推定では、解の時間的正則性がデータの正則性によって制御され、$ m=1,2 $ に対して $ \|\partial_t^m u\|_{L^2(\Omega)} \leq c t^{\alpha - m} \|f\|_{W^{m-1,\infty}(0,T;L^2(\Omega))} $ が成り立つことが示された。