[論文レビュー] Two-sided linear chance constraints and extensions

Miles Lubin, Daniel Bienstock+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 8, 2015

Risk and Portfolio Optimization参考文献 16被引用数 16

ひとこと要約

この論文は、ガウス分布に従う不確実性下での二重線形確率制約の凸性を確立し、証明可能な小さな誤差を有する二次錐外挿法を導入することで、複雑な非線形確率制約（特に電力系統に関連する二次的もの）の取り扱いが可能になる。この手法により、強力な理論的保証のもとで、不確実性下での実用的で大規模な最適化が可能となる。

ABSTRACT

We examine the convexity and tractability of the two-sided linear chance constraint model under Gaussian uncertainty. We show that these constraints can be applied directly to model a larger class of nonlinear chance constraints as well as provide a reasonable approximation for a challenging class of quadratic chance constraints of direct interest for applications in power systems. With a view towards practical computations, we develop a second-order cone outer approximation of the two-sided chance constraint with provably small approximation error.

研究の動機と目的

• ガウス分布に従う不確実性下での二重線形確率制約の凸性を確立し、確率制約最適化の取り扱いやすさを拡張すること。
• 電力系統運用に生じる二次的確率制約に対して、実用的で計算効率の良い近似手法を開発すること。
• 大規模最適化に使用可能な、二重確率制約の証明可能な正確な二次錐緩和を提供すること。
• 提案された近似法の有効性を、再生可能エネルギーの不確実性を含む実世界の電力系統問題に適用して示すこと。
• 二重形式の視点から、より一般的な非線形確率制約の凸性と取り扱いやすさを検討すること。

提案手法

• 幾何的洞察とガウス分布の対数凹性を用いて、$\epsilon \leq 1/2$ の場合に $\mathbb{P}(a \leq x^T\xi \leq b) \geq 1 - \epsilon$ の二重確率制約が $a$, $b$, $x$ に関して凸であることを証明する。
• 証明可能な近似誤差バウンドを有する、二重確率制約の二次錐（SOC）外挿近似を構築する。
• より複雑な二次的確率制約 $\mathbb{P}((a^T\xi + b)^2 + (c^T\xi + d)^2 \leq k) \geq 1 - \epsilon$ の近似に、二重制約を構築の基盤として用いる。
• シュール補題と半正定値プログラミングの技術を用いて、近似の取り扱いやすいSOC形式を導出する。
• 提案されたSOC近似とロバストおよびCVaRベースの近似を比較し、数値積分と可視化を用いて性能を評価する。
• 第4.2節で分布に依存しないモデルを用いて、ガウス仮定を超えた適用可能性を拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ガウス分布に従う不確実性下で、二重線形確率制約 $\mathbb{P}(a \leq x^T\xi \leq b) \geq 1 - \epsilon$ は $a$, $b$, $x$ に関して凸か？
• RQ2 二重確率制約を用いて、電力系統における二次的確率制約の取り扱いやすく正確な近似を構築できるか？
• RQ3 提案された二次錐形式による二重確率制約の近似品質はどの程度か？また、ロバスト法やCVaRベース法と比較してどうか？
• RQ4 二次的確率制約の実行可能集合が凸となる条件は何か？
• RQ5 提案手法を非ガウス的で対数凹性を示す楕円型分布へ拡張可能か？

主な発見

• 二重確率制約 $\mathbb{P}(a \leq x^T\xi \leq b) \geq 1 - \epsilon$ は、$\epsilon \leq 1/2$ の場合に $a$, $b$, $x$ に関して凸であり、幾何的および対数凹性の議論により証明された。
• 提案された二重確率制約の二次錐近似は、証明可能な小さな近似誤差を有しており、大規模最適化における信頼性ある使用が可能である。
• $n=2$ の場合、カイ分布に基づく不確実性集合を用いたロバスト近似は最小であり、妥当性を損なわずにさらに保守的でなくなることはできない。
• 二重近似は、単純な球体制約 $x^2 + y^2 \leq 1/\Phi^{-1}(1 - \epsilon/4)^2$ を得るが、$n=2$ の場合、ロバストボックス制約よりもきつい。
• 数値結果から、$\epsilon = 0.5$ の場合、ロバスト法と二重近似の両方がCVaR近似を上回る。$\epsilon = 0.05$ の場合、どの近似も厳密に優位ではないが、正確な集合は凸に見える。
• 計算実験に基づき、二次的確率制約の実行可能集合が十分に小さい $\epsilon$ に対して凸であると、論文は予想している。