[論文レビュー] Two Squares of Opposition: for Analytic and Synthetic Propositions

Andrew Schumann|arXiv (Cornell University)|Dec 5, 2011

Advanced Algebra and Logic参考文献 8被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、アリストテレス的でない、合成的命題のための新しい対立の正方形を提示する。これは、分析的判断に用いられる古典的正方形とは異なり、ブール代数を非アーベル的モデルへ拡張することで得られる。本稿は、2種類の対立の正方形が存在することを証明している：1つは分析的命題用の従来の正方形、もう1つは合成的命題用の非従来の正方形である。対立関係（対立、矛盾、下位対立、下位関係）は、真偽値の代数的順序に基づいて再定義されており、『すべての物体は重い』のような合成的判断に正方形を適用する際の長年の問題が解決される。

ABSTRACT

In the paper I prove that there are two squares of opposition. The unconventional one is built up for synthetic propositions. There a, i are contrary, a, o (resp. e, i) are contradictory, e, o are subcontrary, a, e (resp. i, o) are said to stand in the subalternation.

研究の動機と目的

• カントとリッケルトが指摘したように、古典的対立の正方形が合成的命題に適用できないという長年の問題を解決すること。
• 包含関係がないため、ベン図では分析できない合成的命題であっても、一貫した論理的構造を有することを示すこと。
• 非アーベル的ブール代数の拡張を用いて、古典的正方形とは異なる第二の対立の正方形を形式化すること。
• 真偽条件と論理的関係を代数的モデルで定義することで、合成的三段論法の基礎を確立すること。

提案手法

• 本稿は、ブール代数 $B$ にスター演算 $^*$ を追加した非アーベル的モデル $\mathfrak{M}_B$ を構築し、真偽値を同値類 $[f]$, $[f\neg]$, $\neg[f]$, $\neg[f\neg]$ として定義する。
• これらの同値類上で、否定（$\neg[f] = {}^*1 - [f]$）、論理積（$[x] \wedge [y] = \inf([x], [y])$）、論理和（$[x] \vee [y] = \sup([x], [y])$）などの論理演算を定義する。
• 真偽値同値類の間の8通りの順序関係を分析し、正方形の関係を満たす2つの異なる構成を同定する：1つは従来のもの、もう1つは合成的もの。
• 従来の正方形は $[f\neg] \leq \neg[f]$ のとき成立し、標準的な対立関係を保つ：対立（$[f], [f\neg]$）、矛盾（$[f], \neg[f]$）、下位対立（$\neg[f\neg], \neg[f]$）、下位関係（$[f], \neg[f\neg]$）。
• 合成的正方形は $\neg[f\neg] \leq \neg[f]$ のとき成立し、関係を再定義する：対立（$[f], \neg[f\neg]$）、矛盾（$[f], \neg[f]$）、下位対立（$\neg[f], [f\neg]$）、下位関係（$[f], [f\neg]$）。
• 非アーベル的三段論法モデル $\mathfrak{B}$ が定義され、原子的三段論法式が $\mathfrak{M}_B$ の真偽値に写像され、これらの値におけるブール演算によって複合式の意味論が定義される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 包含関係が不足するためベン図では分析できない合成的命題に対して、一貫した対立の正方形を構築できるか？
• RQ2 分析的命題と比較して、合成的命題の論理的構造は、対立関係の観点からどのように異なるか？
• RQ3 分析的命題と合成的命題のための2つの明確に異なる対立の正方形の存在を可能にする代数的枠組みは何か？
• RQ4 非アーベル的モデルにおいて、合成的命題の真偽値を形式的に定義し、論理的演算によって関係づける方法は何か？
• RQ5 ブール代数と $^*$-演算の拡張が、従来の正方形と合成的正方形の両方の対立の正方形をモデル化する上で果たす役割は何か？

主な発見

• 非アーベル的モデル $\mathfrak{M}_B$ には、真に2つの対立の正方形が存在する。それは真偽値同値類の順序に依存し、1つは従来のもの、もう1つは合成的ものである。
• 従来の正方形は $[f\neg] \leq \neg[f]$ のとき成立し、標準的な対立関係を保つ：$[f]$ と $[f\neg]$ は対立、$[f]$ と $\neg[f]$ は矛盾、$\neg[f\neg]$ と $\neg[f]$ は下位対立、$[f]$ と $\neg[f\neg]$ は下位関係にある。
• 合成的正方形は $\neg[f\neg] \leq \neg[f]$ のとき成立し、関係を再定義する：$[f]$ と $\neg[f\neg]$ は対立、$[f]$ と $\neg[f]$ は矛盾、$\neg[f]$ と $[f\neg]$ は下位対立、$[f]$ と $[f\neg]$ は下位関係にある。
• このモデルは、『すべての物体は重い』のような包含関係がベン図に現れない合成的命題が、合成的対立の正方形を用いて体系的に分析可能であることを検証する。
• 本稿は、原子的命題が $\mathfrak{M}_B$ の真偽値に写像され、ブール演算によって複合式の意味論が定義される非アーベル的三段論法モデル $\mathfrak{B}$ を用いて、合成的三段論法を形式化できることを確立する。
• 証明により、与えられた仮定のもとで、正方形の対立関係は2つに限られ、合成的正方形は条件 $\neg[f\neg] \leq \neg[f]$ によって一意に定義されることが確認される。