[論文レビュー] Two-stack-sorting with pop stacks

Lara Pudwell, Rebecca Smith|arXiv (Cornell University)|Jan 15, 2018

Algorithms and Data Compression参考文献 14被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、2回のポップスタックを通すことで整列可能な置換を、禁止された古典的およびバー付きパターンによって同定する。また、ねじれたシリンダー上に配置された特別な多ポリオミノのクラスと双対性を確立し、これら置換が3つの古典的置換クラスと同じ列挙の性質に従い、定数係数の線形再帰関係を満たすことを証明する。

ABSTRACT

We consider the set of permutations that are sorted after two passes through a pop stack. We characterize these permutations in terms of forbidden patterns (classical and barred) and enumerate them according to the ascent statistic. Then we show these permutations to be in bijection with a special family of polyominoes. As a consequence, the permutations sortable by this machine are shown to have the same enumeration as three classical permutation classes.

研究の動機と目的

• 2回のポップスタックを通すことで整列可能な置換の集合を特徴づける。
• 組合せ的および再帰的メソッドを用いて、上昇の数によるこれらの置換の列挙を行う。
• 2回のポップスタックで整列可能な置換と、幅3のねじれたシリンダー上に配置された特別な多ポリオミノの族との間の双対的対応を確立する。
• 2回のポップスタックで整列可能な置換の列挙が、3つの古典的置換クラスと同一であることを示す。
• 上昇分布における対称性や対数凹性といった、これらの置換の構造的性質を調査する。

提案手法

• 2341, 3412, 3421, 4123, 4231, 4312, 41352 を避けることで、2回のポップスタックで整列可能な置換を禁止パターン（古典的およびバー付き）を用いて特徴づける。
• 降順の列に分解された置換のブロック構造に基づく再帰的構造を定義し、隣接するブロック間の相対的最大値および最小値に制約を課す。
• 2回のポップスタックで整列可能な置換と、幅3のねじれたシリンダー上に配置された長方形の多ポリオミノの間の双対性を構築し、ブロックサイズと相対順序が、長方形間の空きマス（1または2マス）の間隔を決定する。
• 母関数と再帰関係を用いて、上昇の数による置換の列挙を行い、その列挙列が定数係数の線形再帰関係を満たすことを示す。
• 共有される列挙の性質により、2回のポップスタックで整列可能な置換のクラスと3つの古典的置換クラスとの間のウィルフ同値性を証明する。
• 上昇分布の対数凹性およびブロックサイズ分布の対称性に関する予想を提起・検証し、特に最大上昇数を持つ奇数長の置換について考察する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの置換が2回のポップスタックを通すことで整列可能であり、禁止パターンを用いてどのように特徴づけられるか？
• RQ2 2回のポップスタックで整列可能な置換の、上昇の数による正確な列挙は何か？ その列挙を支配する再帰関係は何か？
• RQ3 2回のポップスタックで整列可能な置換と多ポリオミノの族との間に双対的対応があるか？ もしあるならば、その双対性を定義する幾何的制約は何か？
• RQ4 2回のポップスタックで整列可能な置換が、ある古典的置換クラスと同じ列挙を示すか？ もしあるならば、どのクラスか？
• RQ5 この置換クラス内において、上昇またはブロックサイズの分布に構造的対称性や対数凹性の性質があるか？

主な発見

• 2回のポップスタックで整列可能な置換の集合は、バー付きパターン 41352 と古典的パターン 2341, 3412, 3421, 4123, 4231, 4312 を避けることによって特徴づけられる。
• 長さ n で k 個の上昇をもつ2回のポップスタックで整列可能な置換の個数 a(n,k) は、定数係数の線形再帰関係を満たす。
• 2回のポップスタックで整列可能な置換のクラスは、幅3のねじれたシリンダー上に配置された特別な多ポリオミノの族と双対的対応にある。この多ポリオミノは、ブロックの値関係に基づく特定の間隔ルールに従って長方形ブロックから構成される。
• 2回のポップスタックで整列可能な置換の列挙は、Av(2431, 3412, 3421, 4123, 4213, 4231, 4312, 4321)、Av(2413, 3412, 3421, 4123, 4132, 4213, 4312, 4321)、および Av(1342, 1432, 3142, 3412, 4123, 4132, 4213, 4312) の3つの古典的置換クラスと同一であり、ウィルフ同値性が確立される。
• データにより、予想1は支持される：すべての n に対して列挙列 {a(n,k)} は対数凹性を満たす。
• 小規模な n に対して、予想3は成立する：a(2n+1, n) = 2b(2n+1, n) であり、奇数長 2n+1 でちょうど n 個の上昇をもつ置換のうち、最後のブロックサイズが 1 であるものと 1 より大きいものの個数が等しい。