[論文レビュー] Two-step scale-splitting method for solving complex symmetric system of linear equations

Davod Khojasteh Salkuyeh|arXiv (Cornell University)|May 6, 2017

Matrix Theory and Algorithms参考文献 15被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、$W$ と $T$ が対称正定値または半正定値である複素対称線形方程式系 $(W + iT)x = b$ を解くための二段階スケーリング・スプリット法（TSCSP）を提案する。本手法は、スケーリングとスプリットに基づく二段階反復プロセスを導入することで収束性と効率性を向上させ、無条件収束を達成し、反復回数とCPU時間の両面でSCSP、MHSS、PMHSS、GSOR手法を上回る性能を示した。

ABSTRACT

Based on the Scale-Splitting (SCSP) iteration method presented by Hezari et al. in (A new iterative method for solving a class of complex symmetric system linear of equations, Numerical Algorithms 73 (2016) 927-955), we present a new two-step iteration method, called TSCSP, for solving the complex symmetric system of linear equations $(W+iT)x=b$, where $W$ and $T$ are symmetric positive definite and symmetric positive semidefinite matrices, respectively. It is shown that if the matrices $W$ and $T$ are symmetric positive definite, then the method is unconditionally convergent. The optimal value of the parameter, which minimizes the spectral radius of the iteration matrix is also computed. Numerical {comparisons} of the TSCSP iteration method with the SCSP, the MHSS, the PMHSS and the GSOR methods are given to illustrate the effectiveness of the method.

研究の動機と目的

• 偏微分方程式、構造力学、量子色力学に現れる複素対称線形方程式系に対するより効率的な反復解法の開発を目的とする。
• スケーリング・スプリット（SCSP）法の改良を図り、収束速度とロバスト性を向上させるための二段階反復プロセスを導入することを目的とする。
• 理論的収束条件を確立し、反復行列のスペクトル半径を最小化する最適パラメータ $\alpha$ を計算することを目的とする。
• 複数のテスト問題において、反復回数とCPU時間を指標として、TSCSPを既存の手法（SCSP、MHSS、PMHSS、GSOR）と数値的に比較することを目的とする。
• MHSS法が次元の増大に伴い性能が劣化するのとは対照的に、TSCSP法が問題サイズに依存しない安定した収束行動を維持することを示すこと

提案手法

• TSCSP法は、元のシステム $(W + iT)x = b$ を $\alpha - i$ でスケーリングすることで得られる等価なシステムに基づき、二段階の反復プロセスを適用する。
• 第一段階では $(\alpha I + W)z^{(k+1/2)} = (\alpha I - iT)z^{(k)} + b$ を解き、第二段階では $(\alpha I + T)z^{(k+1)} = (\alpha I + iW)z^{(k+1/2)} - ib$ を解く。両方のステップで対称正定値行列を用いる。
• $W$ と $T$ の対称性と正定値性を活用し、各ステップでコレスキー分解またはCG法により解が得られることを保証する。
• 反復行列のスペクトル半径を導出するための解析的分析を行い、収束速度を最小化する最適な $\alpha$ を解析的に算出する。
• 複素数演算を回避する実数演算ベースの設計により、計算効率を向上させることを目的とする。
• TSCSP法は、サイズや行列構造が異なるベンチマーク問題を用いて、SCSP、MHSS、PMHSS、GSORと数値的に比較された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 SCSP法の二段階拡張は、複素対称線形方程式系に対して、元のSCSP法よりも高速な収束と優れたスケーラビリティを達成できるか？
• RQ2 TSCSP反復行列のスペクトル半径を最小化する最適な緩和パラメータ $\alpha$ は何か？
• RQ3 さまざまな問題サイズにおいて、TSCSP法はMHSS、PMHSS、GSOR、SCSPと比較して反復回数とCPU時間の両面で優れた性能を示すか？
• RQ4 MHSS法が次元の増大に伴い性能が劣化するのとは対照的に、TSCSP法は問題サイズの増大に対しても収束のロバスト性と安定性を維持できるか？
• RQ5 一時ステップ法（SCSP や GSOR など）と比較して、二段階構造は収束に必要な反復回数をどの程度削減できるか？

主な発見

• $W$ と $T$ が対称正定値である限り、TSCSP法は無条件に収束することが保証され、すべてのこのようなシステムに対してロバストである。
• TSCSPの最適パラメータ $\alpha$ は解析的に導出され、反復行列のスペクトル半径を最小化することが示された。
• 例1（$n=1024^2$）では、TSCSPはわずか22回の反復と59.23秒のCPU時間を要したのに対し、MHSSは452回（1063.81秒）、GSORは76回（182.58秒）を要した。
• 例2では、$n=1024^2$ でTSCSPは22回の反復を達成したのに対し、PMHSSは38回、MHSSは452回を要した。これはTSCSPの優れたスケーラビリティを示している。
• 例3では、$n=1024^2$ でTSCSPは23回の反復を要したのに対し、SCSPは94回、MHSSは869回を要した。これは反復回数の顕著な削減を示している。
• 例4では、$n=1024^2$ でTSCSPはたった8回の反復で収束し、GSOR（25回）、PMHSS（28回）、MHSS（28回）を上回った。CPU時間は3.91秒と、最も短かった。