[論文レビュー] Two stock options at the races: Black-Scholes forecasts

Gleb Oshanin, Grégory Schehr|arXiv (Cornell University)|May 11, 2010

Complex Systems and Time Series Analysis参考文献 23被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、同一の確率的ダイナミクス下で、ヨーロピアン型およびアジア型の同一のブラック・ショールズ・オプションにおける相対的アセットウェイトの分布を調査する。驚くべきことに、ヨーロピアン型オプションでは、満期が臨界閾値を超過するようになるにつれ、重み $ w = S_T^{(1)}/(S_T^{(1)} + S_T^{(2)}) $ の確率密度関数が一峰性（1/2でピーク）から二峰性（0および1でピーク）に変化し、$ w = 1/2 $ が最も確率が低い値となる。これは、同一の基礎過程にかかわらず、自発的な対称性の破れを示している。

ABSTRACT

Suppose one buys two very similar stocks and is curious about how much, after some time T, one of them will contribute to the overall asset, expecting, of course, that it should be around 1/2 of the sum. Here we examine this question within the classical Black and Scholes (BS) model, focusing on the evolution of the probability density function P(w) of a random variable w = a_T^{(1)}/(a_T^{(1)} + a_T^{(2)}) where a_T^{(1)} and a_T^{(2)} are the values of two (either European- or the Asian-style) options produced by two absolutely identical BS stochastic equations. We show that within the realm of the BS model the behavior of P(w) is surprisingly different from common-sense-based expectations. For the European-style options P(w) always undergoes a transition, (when T approaches a certain threshold value), from a unimodal to a bimodal form with the most probable values being close to 0 and 1, and, strikingly, w =1/2 being the least probable value. This signifies that the symmetry between two options spontaneously breaks and just one of them completely dominates the sum. For path-dependent Asian-style options we observe the same anomalous behavior, but only for a certain range of parameters. Outside of this range, P(w) is always a bell-shaped function with a maximum at w = 1/2.

研究の動機と目的

• ブラック・ショールズ・モデル下で、同一のヨーロピアン型オプションにおける相対的ウェイト $ w = S_T^{(1)}/(S_T^{(1)} + S_T^{(2)}) $ の統計的挙動を調査すること。
• パス依存的なアジア型オプションが、相対的アセット寄与の分布において同様の異常な挙動を示すかどうかを検討すること。
• ウェイト $ w $ の分布が一峰性から二峰性に遷移する条件を特定し、一般的な対称性の期待に反する現象を解明すること。
• ヨーロピアン型およびアジア型オプションの両ケースにおける $ w $ の確率密度関数の正確かつ近似解析的表現を導出すること。
• 2資産系における相対ウェイト分布を形作る要因として、ブラウン運動の増分間の相関の役割を調査すること。

提案手法

• イトの微積分法およびロジット正規分布を用いて、ヨーロピアン型オプションの正確な確率密度関数 $ P(W) $ を導出。$ P(W) $ は有効満期 $ \alpha_T = \sigma^2 T / 2 $ の関数として表現される。
• フォッカー・プランク方程式および経路積分技法を用いて、オプションウェイトダイナミクスの文脈における2つの相関ブラウン運動の同時分布を分析する。
• 退化超幾何関数 $ U(a,b,z) $ を用いて、アジア型オプションの分布 $ \Psi(\tau) $ の漸近的形を、$ \alpha_T $ が大きい極限で表現する。
• 数値的統合と比較を通じて、$ \Psi(\tau) $ の解析的近似を検証。特に $ \mu = -1 $ および $ \alpha_T = 20, 30, 50 $ の場合に注目する。
• 相関付き増分 $ dB_t^{(1)} $ と $ dB_t^{(2)} $ をモデル化するため、離散時間ランダムウォーク近似を導入。これにより、$ W $ の母関数を導出可能となる。
• 積分恒等式 $ \frac{\exp(-u^2/2A)}{\sqrt{2\pi A}} = \frac{1}{2\pi} \int e^{i\omega u - A\omega^2/2} d\omega $ を用いて、$ N-1 $ 回の重積分を実行し、$ P(W) $ の最終形を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 同一のヨーロピアン型オプションにおける相対的ウェイト $ w = S_T^{(1)}/(S_T^{(1)} + S_T^{(2)}) $ は、時間経過とともに1/2を中心に対称的に分布し続けるか？
• RQ2 ヨーロピアン型オプションにおいて、分布 $ P(W) $ が一峰性から二峰性に遷移する臨界満期 $ \alpha_T $ は何か？
• RQ3 アジア型オプションのパス依存性が、分布 $ P(\mathcal{W}) $ の形状に与える影響は何か？また、どのようなパrameter条件下で二峰性が出現するか？
• RQ4 2資産を駆動するブラウン運動増分間の相関が、相対ウェイト分布に与える役割は何か？
• RQ5 アジア型オプションの分布の漸近的挙動は、逐次超幾何関数 $ U(a,b,z) $ を用いた近似で正確に表現できるか？

主な発見

• ヨーロピアン型オプションでは、$ \alpha_T > 1/2 $ のとき、分布 $ P(W) $ が一峰性（$ W = 1/2 $ で最大）から二峰性（$ W = 0 $ および $ W = 1 $ で最大）に遷移し、$ W = 1/2 $ が最も確率が低い値となる。
• この遷移は有効満期 $ \alpha_T = \sigma^2 T / 2 $ に支配され、$ \alpha_T > 1/2 $ のとき、ロジット正規分布における対数的特異性が二峰性の形を生じさせる。
• アジア型オプションでは、二峰性は特定のパrameter範囲 $ \mu $ および $ \alpha_T $ 内でのみ現れ、その範囲外では $ P(\mathcal{W}) $ は一峰性であり、$ \mathcal{W} = 1/2 $ でピークを示す。
• アジア型オプションのウェイト分布 $ \Psi(\tau) $ の解析的近似は、数値的評価と高い精度で一致しており、特に $ \alpha_T $ が大きい場合に、退化超幾何関数 $ U(a,b,z) $ の使用が妥当であることが裏付けられる。
• 相関付き増分のための確率密度関数 $ P(W) $ は、離散時間ランダムウォークモデルとガウス積分を用いて導出され、$ g^2 = 2\chi^2/(2 + \chi^2) $ を含む形となる。この式は相関の強さを反映している。
• 本研究は、2資産系における自発的対称性の破れを明らかにした：同一の確率的ダイナミクスにかかわらず、一方のオプションが和に対して高い確率で支配的となり、直感的な等価寄与の期待とは反する。