[論文レビュー] Two Structural Results for Low Degree Polynomials and Applications

Gil Cohen, Avishay Tal|arXiv (Cornell University)|Apr 2, 2014

Coding theory and cryptography被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、有限体上の低次の多項式について、2つの構造的結果を確立する。まず、任意の $ackslash mathbb{F} ext{ extbackslash{}_{q}}$ 上の $n$ 変数の $d$ 次多項式は、$ackslash Omega(d \\ cdot n^{1/(d-1)})$ 次元のアフィン部分空間上で定数となることが示され、この境界はタイトである。第二に、このような多項式は、$ackslash Omega(n^{1/(d-1)!})$ 次元のアフィン部分空間に分割され、その各部分空間上で定数となる。これらの結果は、複数の多項式、スパース多項式、および低次の多項式に近い関数へ一般化可能であり、抽出器、分散器、および回路複雑性への応用をもたらす。

ABSTRACT

In this paper, two structural results concerning low degree polynomials over finite fields are given. The first states that over any finite field $\mathbb{F}$, for any polynomial $f$ on $n$ variables with degree $d \le \log(n)/10$, there exists a subspace of $\mathbb{F}^n$ with dimension $Ω(d \cdot n^{1/(d-1)})$ on which $f$ is constant. This result is shown to be tight. Stated differently, a degree $d$ polynomial cannot compute an affine disperser for dimension smaller than $Ω(d \cdot n^{1/(d-1)})$. Using a recursive argument, we obtain our second structural result, showing that any degree $d$ polynomial $f$ induces a partition of $F^n$ to affine subspaces of dimension $Ω(n^{1/(d-1)!})$, such that $f$ is constant on each part. We extend both structural results to more than one polynomial. We further prove an analog of the first structural result to sparse polynomials (with no restriction on the degree) and to functions that are close to low degree polynomials. We also consider the algorithmic aspect of the two structural results. Our structural results have various applications, two of which are: * Dvir [CC 2012] introduced the notion of extractors for varieties, and gave explicit constructions of such extractors over large fields. We show that over any finite field, any affine extractor is also an extractor for varieties with related parameters. Our reduction also holds for dispersers, and we conclude that Shaltiel's affine disperser [FOCS 2011] is a disperser for varieties over $F_2$. * Ben-Sasson and Kopparty [SIAM J. C 2012] proved that any degree 3 affine disperser over a prime field is also an affine extractor with related parameters. Using our structural results, and based on the work of Kaufman and Lovett [FOCS 2008] and Haramaty and Shpilka [STOC 2010], we generalize this result to any constant degree.

研究の動機と目的

• 有限体上の任意の $d$ 次多項式が定数となるアフィン部分空間の最大次元を特定すること。
• 低次の多項式の本質的構造、特にその部分空間上での挙動を理解すること。
• 複数の多項式、スパース多項式、および低次の多項式に近い関数へ構造的結果を一般化すること。
• 擬似乱数生成の問題、特に多様体およびアフィン空間のための抽出器と分散器への構造的洞察を応用すること。
• アフィン分散器と抽出器の間の関係を確立し、$\\mathsf{AC}^0[\\oplus]$ 回路がこのような対象を計算する際の限界を分析すること。

提案手法

• 任意の $ackslash mathbb{F} ext{ extbackslash{}_{q}}$ 上の $n$ 変数の $d$ 次多項式 $f$ に対して、$d \leq \log n / 10$ のとき、再帰的な部分空間構成を用いて、$f$ が定数となる次元 $ackslash Omega(d \cdot n^{1/(d-1)})$ のアフィン部分空間が存在することを証明する。
• この境界のタイトさを示すために、より大きな部分空間上で定数となることができない多項式の構成を行う。
• 最初の構造的結果に基づき、再帰的議論を用いて $ackslash mathbb{F} ext{ extbackslash{}_{q}}^n$ を、$f$ が定数となる次元 $ackslash Omega(n^{1/(d-1)!})$ のアフィン部分空間に分割することを示す。
• 多項式の系に同じ再帰的分解を適用することで、複数の多項式への結果の拡張を行う。
• スパース多項式および低次の多項式に近い関数に対して、DeMillo-Lipton-Schwartz-Zippel補題の変種を用いて、最初の構造的結果の一般化を行う。
• 構造的結果を応用して、アフィン抽出器が多様体に対しても抽出器であることを証明し、また、アフィン分散器が定数次数であれば抽出器であることを示す。これには、回路複雑性およびランダム制限技法を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限体上の任意の $d$ 次多項式が定数となるアフィン部分空間の最大次元は何か？
• RQ2 低次の多項式の構造を用いて、多項式が定数となる部分空間に空間を分割できるか。そのような部分空間の次元は何か？
• RQ3 低次の多項式の構造的性質は、多様体およびアフィン部分空間のための抽出器と分散器の存在とどのように関係するか？
• RQ4 これらの構造的結果は、複数の多項式、スパース多項式、および低次の多項式に近い関数へどの程度一般化可能か？
• RQ5 これらの構造的結果は、特に $\\mathsf{AC}^0[\\oplus]$ 回路におけるアフィン分散器および抽出器の回路複雑性にどのような含意を持つか？

主な発見

• 任意の $ackslash mathbb{F} ext{ extbackslash{}_{q}}$ 上の $d$ 次多項式について、$d \leq \log n / 10$ のとき、$f$ が定数となる次元 $ackslash Omega(d \cdot n^{1/(d-1)})$ のアフィン部分空間が存在し、この境界はタイトである。
• 任意の $d$ 次多項式は、再帰的分解に基づき、$f$ が定数となる次元 $ackslash Omega(n^{1/(d-1)!})$ のアフィン部分空間に $ackslash mathbb{F} ext{ extbackslash{}_{q}}^n$ を分割する。
• 最初の構造的結果は、スパース多項式および低次の多項式に近い関数へ一般化可能であり、DeMillo-Lipton-Schwartz-Zippel補題の一般化版を用いる。
• 任意の有限体上のアフィン抽出器は、関連パラメータを持つ多様体に対しても抽出器である。また、$\\mathbb{F}_2$ 上の Shaltiel のアフィン分散器は多様体に対しても分散器である。
• 素数体上の定数次数のアフィン分散器は、関連パラメータを持つアフィン抽出器である。これは、度数 3 の場合に既知の結果を一般化する。
• 深さ 3 の $\\mathsf{AC}^0[\\oplus]$ 回路は最適なアフィン抽出器を計算可能であるが、深さ 2 の $\\mathsf{AC}^0[\\oplus]$ 回路は次元 $o(n/\\mathrm{polylog}(n))$ に対して良いアフィン分散器を計算できない。