[論文レビュー] Two-Term Disjunctions on the Second-Order Cone

Fatma Kılınç-Karzan, Sercan Yıldız|arXiv (Cornell University)|Apr 30, 2014

Advanced Optimization Algorithms Research参考文献 27被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、第二順序コーン上における2項の分岐に関する凸包に対して、双対性を用いて支配されない線形不等式から有効な不等式を導出することで、閉形式の凸不等式を導出する。主な貢献は、特定の分岐に関して、コーン二次形式での凸包の完全な特徴付けを提供することであり、従来のスプリットカット結果を一般化し、混合整数コーン最適化における強力な切り捨て平面の枠組みを提供する。

ABSTRACT

Balas introduced disjunctive cuts in the 1970s for mixed-integer linear programs. Several recent papers have attempted to extend this work to mixed-integer conic programs. In this paper we study the structure of the convex hull of a two-term disjunction applied to the second-order cone, and develop a methodology to derive closed-form expressions for convex inequalities describing the resulting convex hull. Our approach is based on first characterizing the structure of undominated valid linear inequalities for the disjunction and then using conic duality to derive a family of convex, possibly nonlinear, valid inequalities that correspond to these linear inequalities. We identify and study the cases where these valid inequalities can equivalently be expressed in conic quadratic form and where a single inequality from this family is sufficient to describe the convex hull. In particular, our results on two-term disjunctions on the second-order cone generalize related results on split cuts by Modaresi, Kilinc, and Vielma, and by Andersen and Jensen.

研究の動機と目的

• 第二順序コーンに適用された2項分岐の凸包を特徴付けること。
• 元の変数空間におけるこの凸包を記述する閉形式の凸不等式を導出すること。
• 第二順序コーンにおけるスプリットカットに関する既存の結果を、より広範な2項分岐へ一般化すること。
• 凸包が単一のコーン二次不等式で表現可能となる条件を同定すること。
• 混合整数線形プログラミングにおける分岐カット理論を、特に第二順序コーンに関して、混合整数コーンプログラミングへ拡張すること。

提案手法

• 第二順序コーン上における2項分岐によって定義される分岐集合の支配されない有効な線形不等式を特徴付ける。
• コーン双対性を適用して、これらの線形不等式を、凸的で、場合によっては非線形な有効な不等式の族に変換する。
• 変換後の不等式がコーン二次形式で表現可能な場合を同定する。
• 分岐集合の幾何学的および代数的解析を用いて、凸包の明示的表現を導出する。
• 不等式の有効性と凸性を分岐集合およびその閉包上で検証することで、不等式のタイトさを確認する。
• p次コーンの双対性およびノルムの性質を活用して、p ∈ (1, ∞) のp次コーンへ結果を一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 第二順序コーン上における2項分岐の凸包が、単一のコーン二次不等式で記述可能な条件は何か？
• RQ2 第二順序コーン上における分岐集合の支配されない有効な線形不等式を、コーン双対性を用いて、系統的に凸的非線形不等式に変換する方法は何か？
• RQ3 第二順序コーン上における非スプリットの一般2項制約を含む分岐の場合、凸包の構造はいかなるものか？
• RQ4 第二順序コーン上における2項分岐に関する結果は、従来のスプリットカットに関する先行研究をどのように一般化するか？
• RQ5 p次コーン上における2項分岐の凸包は閉形式で表現可能か？また、どのような条件下でコーン二次形式で表現可能か？

主な発見

• 本稿では、第二順序コーン上における2項分岐の凸包について、閉形式の表現を導出し、それが1つの線形不等式と1つの平方根項を含む2つの凸不等式で記述可能であることを示している。
• 特に、$\mathbb{K}_2^3$ 上の分岐 $-x_2 \to 0 \vee -x_3 \geq -1$ に対して、凸包は $\{x \in \mathbb{K}_2^3 : x_2 \leq 1, \; 1 + |x_1| - x_3 \leq \sqrt{1 - \max\{0, x_2\}^2}\}$ であり、拡張空間上ではコーン二次形式で表現可能である。
• 本手法は、Modaresi らおよび Andersen と Jensen が得たスプリットカットに関する先行結果を成功裏に一般化し、非スプリット2項分岐へと拡張している。
• p ∈ (1, ∞) のp次コーンに対して、本稿では基本的なスプリット分岐の凸包について閉形式の表現を提供し、Modaresi ら（2014）の補題1を回復し、独立して証明している。
• 特に $c_{1,0} = c_{2,0} = 1$ および $c_1 = t_1 e^i$, $c_2 = -t_2 e^i$ の場合、凸包は単一のコーン二次不等式で表現可能であり、$\|(t_1 + t_2)\tilde{x} - 2(t_2 x_i + 1)\tilde{e}^i\|_p \leq (t_1 + t_2)x_n$ という式で与えられる。
• 解析により、凸包が閉集合であり、導出された不等式が有効かつタイトであることが確認された。さらに、双対関数の明示的計算により、導出された関数の凸性が裏付けられた。