[論文レビュー] Two-time, response-excitation moment equations for a cubic half-oscillator under Gaussian and cubic-Gaussian colored excitation. Part 1: The monostable case

G. A. Athanassoulis, Ivi C. Tsantili+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 8, 2013

Spectroscopy and Quantum Chemical Studies参考文献 60被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、色付きで非ガウス的励起を受ける非線形系に対して、新規の二時刻応答励起モーメント方程式法を提案する。正確な時刻閉じ込め条件とガウスモーメント閉じ込めを組み合わせることで、因果的かつ非局所的な一時刻モーメントのための有限系を導出し、モンテカルロシミュレーションによる検証を通じて、応答統計の正確な予測を可能にする。立方ガウス的色付きノイズ下での単安定な立方半ばね振動子において、励起の相関時間および形状が応答共分散に顕著な影響を与えることが示された。

ABSTRACT

In this paper a new method is presented for the formulation and solution of two-time, response-excitation moment equations for a nonlinear dynamical system excited by colored, Gaussian or non-Gaussian processes. Starting from equations for the two-time moments (e.g. for Cxy(t,s), Cxx(t,s)), the method uses an exact time-closure condition, in addition to a Gaussian moment closure, in order to obtain a closed, non-local in time (causal) subsystem for the one-time (t=s) moments. After solving this causal system, the two-time moments can be calculated for all (t,s) pairs as well. The present method differs essentially from the classical Itô/FPK approach since it does not involve any specific assumptions regarding the correlation structure of the excitation. In the case where the input random process can be obtained as the solution of an Itô equation (as, e.g., happens with an Ornstein-Uhlenbeck process), the proposed non-local system is localized, leading to moment equations identical with the usual ones. The closed, non-local in time, moment system is numerically solved by means of an appropriate, two-scale, iterative scheme, and numerical results are presented for two families of colored stochastic excitations. The results are confirmed by means of extensive Monte Carlo simulations. It is found that both the correlation time and the details of the shape of the input random function affect appreciable the response covariance. In the present paper we focus on a monostable cubic half-oscillator, excited by a smoothly-correlated, linear-plus-cubic-Gaussian (non-Gaussian) random input. The bistable case, as well as more general nonlinear systems can be treated by the same method, provided that a more elaborate moment closure will be used.

研究の動機と目的

• 色付きで非ガウス的励起を受ける非線形力学系に対して、特定の相関構造を仮定せずに閉形式の因果的モーメント系を構築すること。
• 励起の相関に関する仮定を避けることで、従来のモーメントベースの手法を伊藤／フォッカー・プランクフレームワークを越えて拡張すること。
• 時刻閉じ込めとガウス閉じ込め技術を統合することで、非線形系における応答共分散の正確な予測を可能にすること。
• 単安定な立方半ばね振動子に対して、広範なモンテカルロシミュレーションと比較して、本手法の数値的妥当性を検証すること。
• 励起の相関時間および非ガウス的形状特性が、系の応答に与える影響を明らかにすること。

提案手法

• 立方半ばね振動子に色付きで非ガウス的励起が作用する場合の二時刻モーメント方程式（例：Cxy(t,s), Cxx(t,s)）を導出する。
• 無限階のモーメント方程式の階層を有限で非局所的かつ因果的な時刻系に削減するため、正確な時刻閉じ込め条件を適用する。
• さらにモーメント系を閉じるため、ガウスモーメント閉じ込めを実装し、一時刻モーメントの数値的解法を可能にする。
• 得られた非局所的モーメント系を、二スケールの反復的数値スキームで解く。
• 解かれた一時刻モーメントから、すべての(t,s)ペアにおける二時刻モーメントを再構成する。
• ガウス的および立方ガウス的色付き励起の二つの族に対して、結果をモンテカルロシミュレーションと照合する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 色付きで非ガウス的励起を受ける非線形系に対して、特定の相関構造を仮定せずに、閉じた因果的モーメント方程式系をどのように導出できるか。
• RQ2 非ガウス的色付き励起の相関時間および形状が、非線形振動子の応答共分散にどの程度影響を与えるか。
• RQ3 提案手法が、単安定な立方半ばね振動子に対してモンテカルロシミュレーションと整合する結果を再現できるか。
• RQ4 一般性と精度の観点から、古典的な伊藤／フォッカー・プランク手法と比較して、本手法はどのように異なるか。
• RQ5 時刻閉じ込め条件が、非線形確率的力学における因果的かつ非局所的なモーメント系の構築に果たす役割は何か。

主な発見

• 提案手法は、非線形振動子の統計的応答を正確に捉えることのできる、閉じた非局所的因果的モーメント方程式系を成功裏に生成した。
• 応答共分散は、入力励起の相関時間および形状の両方の影響を顕著に受けており、特に非ガウス的立方ガウス的色付きノイズ下で顕著である。
• オーナイシュタイン・ウーレンブルク型励起の下では、非局所的系が局所化し、古典的モーメント方程式に還元されることが確認され、従来の理論と整合していることが示された。
• モーメント系の数値的解法は、広範なモンテカルロシミュレーションと優れた一致を示し、手法の正確性が検証された。
• 本手法は、安定性と一般性に優れており、より高度なモーメント閉じ込め技術を用いることで、二安定系やより複雑な非線形系への応用が可能である。
• 結果から、確率的力学において非ガウス的および色付き励起特性を考慮することが極めて重要であることが浮き彫りになった。これらは、系の応答統計を顕著に変化させる。