[論文レビュー] Two Variants of Euler Sums

Ce Xu, Weiping Wang|arXiv (Cornell University)|Jun 15, 2019

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ひとこと要約

本稿では、留数定理とコーシー積分を用いて、Euler $T$-和および交項Euler $T$-和の2つの変種を導入し、評価している。これらの和に対して、Hoffman $t$-値および多重ゼータ値を用いた明示的公式を導出し、Kaneko-Tsumuraの予想に関する双対性公式を確立するとともに、三重 $t$-値および偶数重のKaneko-Tsumura $T$-ゼータ値の閉形式を提供している。

ABSTRACT

For positive integers $p_1,p_2,\ldots,p_k,q$ with $q>1$, we define the Euler $T$-sum $T_{p_1p_2\cdots p_k,q}$ as the sum of those terms of the usual infinite series for the classical Euler sum $S_{p_1p_2\cdots p_k,q}$ with odd denominators. Like the Euler sums, the Euler $T$-sums can be evaluated according to the Contour integral and residue theorem. Using this fact, we obtain explicit formulas for Euler $T$-sums with repeated arguments analogous to those known for Euler sums. Euler $T$-sums can be written as rational linear combinations of the Hoffman $t$-values. Using known results for Hoffman $t$-values, we obtain some examples of Euler $T$-sums in terms of (alternating) multiple zeta values. Moreover, we prove an explicit formula of triple $t$-values in terms of zeta values, double zeta values and double $t$-values. We also define alternating Euler $T$-sums and prove some results about them by the Contour integral and residue theorem. Furthermore, we define another Euler type $T$-sums and find many interesting results. In particular, we give an explicit formulas of triple Kaneko-Tsumura $T$-values of even weight in terms of single and the double $T$-values. Finally, we prove a duality formula of Kaneko-Tsumura's conjecture.

研究の動機と目的

• 古典的Euler和の変種として、分母が奇数に制限されたEuler $T$-和を定義し、体系的に研究すること。
• Euler $T$-和の理論を交項Euler $T$-和およびその他のEuler型 $T$-和、特にKaneko-Tsumura $T$-ゼータ値へと拡張すること。
• 留数積分と留数計算を用いて、これらの和の明示的評価を確立し、Hoffman $t$-値および多重ゼータ値と関連付けること。
• Kaneko-Tsumuraの予想に関する双対性公式を証明し、さまざまな $T$-和と $t$-値を結びつけること。
• 三重 $t$-値および偶数重のKaneko-Tsumura $T$-ゼータ値の閉形式を、より単純なゼータ値および $t$-値の形で与えること。

提案手法

• Euler $T$-和 $T_{p_1\bar{p}_k,q}$ を、分母が奇数である和として定義し、調和的分子 $h_{n-1}^{(p)}$ を用いる。
• ディガンマ関数およびその微分の性質を活用して、留数定理と留数積分を用いて $T$-和を評価する。
• T-和とHoffman $t$-値との関係を用いる：任意のEuler $T$-和は、同じ重さで深さが $k+1$ 以下の $t$-値の有理数線形結合として表せる。
• 三重 $t$-値の明示的公式を、ゼータ値、二重ゼータ値および二重 $t$-値を用いて導出する。
• 交項Euler $T$-和を導入し、同じ留数積分フレームワークを用いて評価する。
• Hurwitzゼータ関数および $\Psi^{(m-1)}$ 関数を含む関数方程式と留数恒等式を組み合わせることで、Kaneko-Tsumuraの予想に関する双対性公式を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 繰り返しのあるEuler $T$-和は、古典的Euler和の既知の結果に類似して、どのように明示的に評価できるか？
• RQ2 Euler $T$-和とHoffman $t$-値との間にはどのような関係があり、$T$-和は $t$-値の有理数線形結合として表せるか？
• RQ3 Kaneko-Tsumuraの予想に含まれる $T$-和と $t$-値の関係について、双対性公式を確立できるか？
• RQ4 三重 $t$-値および偶数重のKaneko-Tsumura $T$-ゼータ値の閉形式は、より単純なゼータ値を用いてどのように表現できるか？
• RQ5 交項Euler $T$-和はどのように振る舞い、非交項の場合と同様の解析的手法で評価できるか？

主な発見

• 本稿では、三重 $t$-値がゼータ値、二重ゼータ値および二重 $t$-値を用いて明示的に表現できる公式を導出した。
• Euler $T$-和が重さ $w$ で次数 $k$ である場合、重さ $w$ で深さが $k+1$ 以下のHoffman $t$-値の有理数線形結合であることを証明した。
• 特に $p=2, q=3$ の場合、恒等式 $3T(2,4) + 2T(3,3) = \frac{\pi^6}{64} - \frac{49}{8}\zeta^2(3)$ が具体的な例として確立された。
• Kaneko-Tsumuraの予想に関する双対性公式が証明され、$T(m+i,q+j)$ および $T(p+i,q+j)$ の和が $\widetilde{t}(p+q+m-1)$ およびゼータ値と $t$-値の積と関連づけられた。
• $\widetilde{S}_{p,q} = 2^{p+q-2}T(q,p)$ および $T_{p,q} = 2^{p+q}t(q,p)$ の関係を用いて、二重Kaneko-Tsumura $T$-値と二重Hoffman $t$-値を結びつけた。
• 系5.4により、$\widetilde{S}_{2,2} + 2\widetilde{S}_{1,3} - T_{2,2} = \frac{\pi^4}{12}$ の評価が得られ、この手法の有効性が示された。