[論文レビュー] Two-Way Parikh Automata

Emmanuel Filiot, Shibashis Guha+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2019

semigroups and automata theory参考文献 7被引用数 2

ひとこと要約

本稿は、入力ヘッドを左右に移動できる二方向型パーシュ・オートマトン（2PA）を調査し、一方向型パーシュ・オートマトンに二方向型入力ヘッドを追加した拡張を検討する。本稿では、訪問回数が有界な2PAにおける空集合性がPSpace完全であることを示し、一般の非決定的2PAでは空集合性が決定不能であることを確立する。半線形制約をΣi-プレスブル形式で表現した場合、包含、普遍性、同値性問題のタイトな複雑さ境界を提供し、i > 1のとき、Σi-2DPAのこれらの問題がΠExp_i完全であることを示す。この複雑さは、i > 1のとき、Σi-プレスブル式の充足可能性に支配される。

ABSTRACT

Parikh automata extend automata with counters whose values can only be tested at the end of the computation, with respect to membership into a semi-linear set. Parikh automata have found several applications, for instance in transducer theory, as they enjoy decidable emptiness problem. In this paper, we study two-way Parikh automata. We show that emptiness becomes undecidable in the non-deterministic case. However, it is PSpace-C when the number of visits to any input position is bounded and the semi-linear set is given as an existential Presburger formula. We also give tight complexity bounds for the inclusion, equivalence and universality problems. Finally, we characterise precisely the complexity of those problems when the semi-linear constraint is given by an arbitrary Presburger formula.

研究の動機と目的

• 二方向型パーシュ・オートマトン（2PA）における基本的決定問題である空集合性、包含、同値性、普遍性の決定可能性と複雑さを分析すること。
• 2PAの表現力が一方向型パーシュ・オートマトンおよび非一意的オートマトンに対してどのように特徴づけられるかを明らかにすること。
• 受理条件がΣi-プレスブル式で与えられる場合の問題の正確な複雑さを特定すること、特にi > 1の場合に注目すること。
• 訪問回数制約が有界な2PAクラスに対して、弱指数階層におけるタイトな複雑さ境界を確立すること。

提案手法

• 一方向型パーシュ・オートマトンに二方向型入力ヘッドを追加し、入力上を左右に移動できるように拡張する。
• 小さな証拠（small witnesses）性質と2DPAから非一意的PAへの変換の複雑さを丁寧に分析することで、空集合性を分析する。
• 交差するチューリングマシンと量化子の入れ替えを用いて、Σi-プレスブル式を含む問題の上界を導出する。
• 2DPAのブール演算における閉包性を応用し、包含および普遍性問題を空集合性問題に還元する。
• Σi-プレスブル式の充足可能性および妥当性問題への還元を用いて、下界を証明する。
• 既知の語変換子およびクロスシーケンスに関する結果を活用し、非一意的PAが二方向型決定的有限変換子と等価であることを示し、2DPA-UPA対応関係を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非決定的二方向型パーシュ・オートマトンにおける空集合性問題は決定可能か？ もし可能であれば、その複雑さは何か？
• RQ2 存在的プレスブル制約付きの訪問回数が有界な二方向型パーシュ・オートマトンにおける空集合性の正確な複雑さは何か？
• RQ3 受理条件がΣi-プレスブル式で定義される二方向型決定的パーシュ・オートマトンにおける包含、普遍性、同値性問題のスケーリングはどのように変化するか？
• RQ4 二方向型決定的パーシュ・オートマトンと非一意的一方向型パーシュ・オートマトンとの間には、表現力および複雑さの観点でどのような関係があるか？
• RQ5 i > 1の場合、2PAの決定問題の複雑さは、プレスブル式の推論の複雑さに支配されるようになるか？

主な発見

• 訪問回数が有界な二方向型パーシュ・オートマトンの空集合性は、入力位置の訪問回数が定数で抑えられる場合でもPSpace完全である。
• 一般の非決定的二方向型パーシュ・オートマトンでは、空集合性が決定不能になる。
• Σi-2DPAにおける包含、普遍性、同値性問題はΠExp_i完全であり、i > 1のとき、これらの複雑さはΣi-プレスブル式の充足可能性に支配される。
• i = 1の場合、空集合性の複雑さは依然としてPSpace完全であるが、Σ1式の充足可能性はNP完全であるため、複雑さの領域に明確な分離が生じる。
• 二方向型決定的パーシュ・オートマトンは、非一意的一方向型パーシュ・オートマトンと表現的に等価であり、変換時に二重指数的ブロー・アップが生じる。
• 2PAにおける属する問題（membership problem）の複雑さはNP完全であり、一方向型パーシュ・オートマトンと同一の複雑さである。